TEKST ZADATKA
Dužina hipotenuze pravouglog trougla je c, a zbir dužina njegovih kateta iznosi k. Naći dužine kateta.
REŠENJE ZADATKA
Neka su a i b dužine kateta pravouglog trougla. Na osnovu uslova zadatka i Pitagorine teoreme, postavljamo sistem jednačina:
\begin{cases} a + b = {% k %} \\ a^2 + b^2 = {% c %}^2 \end{cases}
Kvadriramo prvu jednačinu kako bismo iskoristili identitet za kvadrat binoma i povezali je sa drugom jednačinom.
(a + b)^2 = {% k %}^2
Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levu stranu jednačine.
a^2 + 2ab + b^2 = {% k %}^2
Zamenjujemo zbir kvadrata kateta a2+b2 sa kvadratom hipotenuze {% c
^2 %} na osnovu druge jednačine sistema.
{% c %}^2 + 2ab = {% k %}^2
Izražavamo proizvod kateta ab iz dobijene jednačine.
ab = \frac{{% k %}^2 - {% c %}^2}{2}
Na osnovu Vijetovih formula, brojevi čiji je zbir S = {% k
%} i proizvod P = \frac{{% k
^2 - c^2}{2} %} predstavljaju rešenja kvadratne jednačine oblika x2−Sx+P=0.
x^2 - {% k %}x + \frac{{% k %}^2 - {% c %}^2}{2} = 0
Množimo jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomka.
2x^2 - 2{% k %}x + {% k %}^2 - {% c %}^2 = 0
Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine x1,2=2a−b±b2−4ac.
x_{1,2} = \frac{-(-2{% k %}) \pm \sqrt{(-2{% k %})^2 - 4 \cdot 2 \cdot ({% k %}^2 - {% c %}^2)}}{2 \cdot 2}
Računamo vrednost izraza pod korenom (diskriminantu).
x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm \sqrt{4{% k %}^2 - 8{% k %}^2 + 8{% c %}^2}}{4}
Sređujemo izraz pod korenom.
x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm \sqrt{8{% c %}^2 - 4{% k %}^2}}{4}
Izvlačimo zajednički činilac 4 ispred korena.
x_{1,2} = \frac{2{% k %} \pm 2\sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{4}
Skraćujemo razlomak sa 2.
x_{1,2} = \frac{{% k %} \pm \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}
Rešenja ove kvadratne jednačine predstavljaju tražene dužine kateta pravouglog trougla.
a = \frac{{% k %} + \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}, \quad b = \frac{{% k %} - \sqrt{2{% c %}^2 - {% k %}^2}}{2}