1856. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorena veličina mora biti neegativna:

4+2x-x^2 \ge 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $-x^2+2x+4=0$ da bismo našli nule polinoma:

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{-2} = 1 \mp \sqrt{5}

Domen jednačine je interval u kojem je parabola okrenuta otvorom nadole pozitivna:

D_f: x \in [1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]

Pored domena, leva strana jednačine (koren) je uvek neegativna, pa i desna strana mora biti neegativna (uslov za kvadriranje):

x-2 \ge 0 \implies x \ge 2

Kombinovanjem domena $x \in [1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]$ i uslova $x \ge 2 ,$ dobijamo konačan uslov za rešenja:

x \in [2, 1+\sqrt{5}]

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(\sqrt{4+2x-x^2})^2 = (x-2)^2

Sređujemo dobijeni izraz:

4+2x-x^2 = x^2-4x+4

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 6x = 0

Faktorišemo jednačinu:

2x(x-3) = 0

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = 0, \quad x_2 = 3

Proveravamo da li rešenja pripadaju intervalu uslova $x \in [2, 1+\sqrt{5}] .$ Kako je $1+\sqrt{5} \approx 3.23 :$

\begin{aligned} &x_1 = 0 \notin [2, 3.23] \\ &x_2 = 3 \in [2, 3.23] \end{aligned}

Jedino validno rešenje jednačine je:

x = 3

1856.Iracionalne jednačine i nejednačine