Iracionalna jednačina sa tri korena: rešenje 7/2

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{3}{2} \\ x \ge 1 \\ x \ge \frac{8}{3} \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

x \in \left[\frac{8}{3}, +\infty\right)

Da bismo izbegli kvadriranje razlike i olakšali račun, prebacujemo $-\sqrt{x-1}$ na desnu stranu:

\sqrt{2x+3} = \sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1}

Sada su obe strane jednačine garantovano pozitivne, pa možemo bezbedno da ih kvadriramo:

(\sqrt{2x+3})^2 = (\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:

2x+3 = (3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1)

Sređujemo dobijeni izraz tako što grupišemo članove van korena i množimo izraze pod korenom:

2x+3 = 4x - 9 + 2\sqrt{3x^2 - 3x - 8x + 8}

Prebacujemo sve članove koji nisu pod korenom na levu stranu:

2x + 3 - 4x + 9 = 2\sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Pojednostavljujemo levu stranu:

-2x + 12 = 2\sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Delimo celu jednačinu sa 2 da bismo je uprostili:

-x + 6 = \sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Da bismo ponovo kvadrirali, leva strana mora biti nenegativna. Postavljamo novi uslov:

-x + 6 \ge 0 \implies x \le 6

Kombinovanjem ovog uslova sa početnim domenom, dobijamo konačni interval u kojem tražimo rešenje:

x \in \left[\frac{8}{3}, 6\right]

Kvadriramo obe strane jednačine:

(-x+6)^2 = (\sqrt{3x^2 - 11x + 8})^2

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani:

x^2 - 12x + 36 = 3x^2 - 11x + 8

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo formirali kvadratnu jednačinu:

3x^2 - 11x + 8 - x^2 + 12x - 36 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu:

2x^2 + x - 28 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{4}

Koren iz 225 je 15, pa dobijamo:

x_{1,2} = \frac{-1 \pm 15}{4}

Računamo prvo rešenje:

x_1 = \frac{-1 + 15}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}

Računamo drugo rešenje:

x_2 = \frac{-1 - 15}{4} = \frac{-16}{4} = -4

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju intervalu $x \in \left[\frac{8}{3}, 6\right] :$

\begin{cases} x_1 = \frac{7}{2} = 3.5 \in \left[\frac{8}{3}, 6\right] \\ x_2 = -4 \notin \left[\frac{8}{3}, 6\right] \end{cases}

Konačno rešenje je samo ono koje zadovoljava sve uslove:

x = \frac{7}{2}

362.d