1867.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

2x+3−x−1=3x−8\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-8}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne:

{2x+3≥0x−1≥03x−8≥0  ⟹  {x≥−32x≥1x≥83\begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{3}{2} \\ x \ge 1 \\ x \ge \frac{8}{3} \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

x∈[83,+∞)x \in \left[\frac{8}{3}, +\infty\right)

Da bismo izbegli kvadriranje razlike i olakšali račun, prebacujemo −x−1 -\sqrt{x-1} na desnu stranu:

2x+3=3x−8+x−1\sqrt{2x+3} = \sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1}

Sada su obe strane jednačine garantovano pozitivne, pa možemo bezbedno da ih kvadriramo:

(2x+3)2=(3x−8+x−1)2(\sqrt{2x+3})^2 = (\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:

2x+3=(3x−8)+2(3x−8)(x−1)+(x−1)2x+3 = (3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1)

Sređujemo dobijeni izraz tako što grupišemo članove van korena i množimo izraze pod korenom:

2x+3=4x−9+23x2−3x−8x+82x+3 = 4x - 9 + 2\sqrt{3x^2 - 3x - 8x + 8}

Prebacujemo sve članove koji nisu pod korenom na levu stranu:

2x+3−4x+9=23x2−11x+82x + 3 - 4x + 9 = 2\sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Pojednostavljujemo levu stranu:

−2x+12=23x2−11x+8-2x + 12 = 2\sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Delimo celu jednačinu sa 2 da bismo je uprostili:

−x+6=3x2−11x+8-x + 6 = \sqrt{3x^2 - 11x + 8}

Da bismo ponovo kvadrirali, leva strana mora biti nenegativna. Postavljamo novi uslov:

−x+6≥0  ⟹  x≤6-x + 6 \ge 0 \implies x \le 6

Kombinovanjem ovog uslova sa početnim domenom, dobijamo konačni interval u kojem tražimo rešenje:

x∈[83,6]x \in \left[\frac{8}{3}, 6\right]

Kvadriramo obe strane jednačine:

(−x+6)2=(3x2−11x+8)2(-x+6)^2 = (\sqrt{3x^2 - 11x + 8})^2

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani:

x2−12x+36=3x2−11x+8x^2 - 12x + 36 = 3x^2 - 11x + 8

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo formirali kvadratnu jednačinu:

3x2−11x+8−x2+12x−36=03x^2 - 11x + 8 - x^2 + 12x - 36 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu:

2x2+x−28=02x^2 + x - 28 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule x1,2=−b±b2−4ac2a: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :

x1,2=−1±12−4⋅2⋅(−28)2⋅2x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28)}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x1,2=−1±1+2244=−1±2254x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{4}

Koren iz 225 je 15, pa dobijamo:

x1,2=−1±154x_{1,2} = \frac{-1 \pm 15}{4}

Računamo prvo rešenje:

x1=−1+154=144=72x_1 = \frac{-1 + 15}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}

Računamo drugo rešenje:

x2=−1−154=−164=−4x_2 = \frac{-1 - 15}{4} = \frac{-16}{4} = -4

Proveravamo da li dobijena rešenja pripadaju intervalu x∈[83,6]: x \in \left[\frac{8}{3}, 6\right] :

{x1=72=3.5∈[83,6]x2=−4∉[83,6]\begin{cases} x_1 = \frac{7}{2} = 3.5 \in \left[\frac{8}{3}, 6\right] \\ x_2 = -4 \notin \left[\frac{8}{3}, 6\right] \end{cases}

Konačno rešenje je samo ono koje zadovoljava sve uslove:

x=72x = \frac{7}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti