1866. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo oblast definisanosti jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne.

\begin{cases} 4x+5 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{5}{4} \\ x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 1 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine.

x \in [1, +\infty)

Kvadriramo obe strane polazne jednačine.

(\sqrt{4x+5})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani.

4x+5 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(x-1)} + (x-1)

Sređujemo dobijeni izraz.

4x+5 = 3x-2 + 2\sqrt{2x^2-3x+1}

Prebacujemo sve članove bez korena na levu stranu kako bismo izolovali koren.

x+7 = 2\sqrt{2x^2-3x+1}

Pre ponovnog kvadriranja, postavljamo uslov da leva strana mora biti nenegativna. Pošto je $x \ge 1 ,$ uslov $x+7 \ge 0$ je uvek ispunjen. Kvadriramo jednačinu.

(x+7)^2 = (2\sqrt{2x^2-3x+1})^2

Razvijamo kvadrat binoma i kvadriramo desnu stranu.

x^2+14x+49 = 4(2x^2-3x+1)

Množimo zagradu na desnoj strani.

x^2+14x+49 = 8x^2-12x+4

Prebacujemo sve članove na jednu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu.

7x^2-26x-45 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} .$

x_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-45)}}{2 \cdot 7}

Računamo diskriminantu.

x_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 1260}}{14} = \frac{26 \pm \sqrt{1936}}{14}

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine.

x_{1,2} = \frac{26 \pm 44}{14}

Prvo rešenje:

x_1 = \frac{26 + 44}{14} = \frac{70}{14} = 5

Drugo rešenje:

x_2 = \frac{26 - 44}{14} = \frac{-18}{14} = -\frac{9}{7}

Proveravamo da li rešenja pripadaju domenu $x \in [1, +\infty) .$

x_1 = 5 \in [1, +\infty), \quad x_2 = -\frac{9}{7} \notin [1, +\infty)

Konačno rešenje je samo ono koje zadovoljava uslove definisanosti.

x = 5

362.đ