1861.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti iracionalnu jednačinu: 1−x=3x2−7x+3. 1-x = \sqrt{3x^2-7x+3} .

1−x=3x2−7x+31-x = \sqrt{3x^2-7x+3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorena veličina mora biti nenegativna, a pošto je koren jednak izrazu 1−x, 1-x , i taj izraz mora biti nenegativan.

{3x2−7x+3≥01−x≥0\begin{cases} 3x^2 - 7x + 3 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu 3x2−7x+3≥0. 3x^2 - 7x + 3 \ge 0 . Prvo nalazimo nule kvadratne funkcije.

x1,2=7±49−366=7±136x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 36}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}

Iz druge nejednačine 1−x≥0 1 - x \ge 0 dobijamo uslov za desnu stranu.

x≤1x \le 1

Kvadriramo obe strane jednačine uz poštovanje postavljenih uslova.

(1−x)2=(3x2−7x+3)2(1-x)^2 = (\sqrt{3x^2-7x+3})^2

Sređujemo dobijeni izraz.

1−2x+x2=3x2−7x+31 - 2x + x^2 = 3x^2 - 7x + 3

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine.

x1,2=5±25−164=5±34x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja.

x1=2,x2=12x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2}

Proveravamo rešenja u odnosu na uslov x≤1. x \le 1 . Rešenje x1=2 x_1 = 2 ne zadovoljava uslov, dok rešenje x2=12 x_2 = \frac{1}{2} zadovoljava.

x=12x = \frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti