1873.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

x+1+2x+3=1\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 1
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo domen jednačine. Potkoreni izrazi moraju biti nenegativni:

x+1≥0i2x+3≥0x+1 \ge 0 \quad \text{i} \quad 2x+3 \ge 0

Rešavanjem ovih nejednačina dobijamo uslove za x: x :

x≥−1ix≥−32x \ge -1 \quad \text{i} \quad x \ge -\frac{3}{2}

Presek ova dva uslova daje domen jednačine:

x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)

Prebacujemo jedan koren na desnu stranu kako bismo lakše kvadrirali jednačinu:

2x+3=1−x+1\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}

Kvadriramo obe strane jednačine:

(2x+3)2=(1−x+1)2(\sqrt{2x+3})^2 = (1 - \sqrt{x+1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:

2x+3=1−2x+1+x+12x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + x+1

Sređujemo jednačinu tako što sve članove osim korena prebacimo na levu stranu:

2x+3−1−x−1=−2x+12x + 3 - 1 - x - 1 = -2\sqrt{x+1}

Nakon sređivanja dobijamo:

x+1=−2x+1x + 1 = -2\sqrt{x+1}

Analiziramo dobijenu jednačinu. Na levoj strani imamo izraz x+1, x+1 , koji je zbog domena (x≥−1 x \ge -1 ) uvek veći ili jednak nuli. Na desnoj strani imamo izraz −2x+1, -2\sqrt{x+1} , koji je uvek manji ili jednak nuli.

x+1≥0i−2x+1≤0x+1 \ge 0 \quad \text{i} \quad -2\sqrt{x+1} \le 0

Jednakost je moguća samo ako su obe strane jednake nuli:

x+1=0i−2x+1=0x + 1 = 0 \quad \text{i} \quad -2\sqrt{x+1} = 0

Iz ovoga direktno sledi rešenje:

x=−1x = -1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu. Pošto −1∈[−1,+∞), -1 \in [-1, +\infty) , rešenje je validno. Takođe možemo proveriti zamenom u početnu jednačinu:

−1+1+2(−1)+3=0+1=1\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = 0 + \sqrt{1} = 1

Konačno rešenje jednačine je:

x=−1x = -1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti