Iracionalna jednačina: zbir dva korena jednak 1

Prvo određujemo domen jednačine. Potkoreni izrazi moraju biti nenegativni:

x+1 \ge 0 \quad \text{i} \quad 2x+3 \ge 0

Rešavanjem ovih nejednačina dobijamo uslove za $x :$

x \ge -1 \quad \text{i} \quad x \ge -\frac{3}{2}

Presek ova dva uslova daje domen jednačine:

x \in [-1, +\infty)

Prebacujemo jedan koren na desnu stranu kako bismo lakše kvadrirali jednačinu:

\sqrt{2x+3} = 1 - \sqrt{x+1}

Kvadriramo obe strane jednačine:

(\sqrt{2x+3})^2 = (1 - \sqrt{x+1})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:

2x+3 = 1 - 2\sqrt{x+1} + x+1

Sređujemo jednačinu tako što sve članove osim korena prebacimo na levu stranu:

2x + 3 - 1 - x - 1 = -2\sqrt{x+1}

Nakon sređivanja dobijamo:

x + 1 = -2\sqrt{x+1}

Analiziramo dobijenu jednačinu. Na levoj strani imamo izraz $x+1 ,$ koji je zbog domena ( $x \ge -1$ ) uvek veći ili jednak nuli. Na desnoj strani imamo izraz $-2\sqrt{x+1} ,$ koji je uvek manji ili jednak nuli.

x+1 \ge 0 \quad \text{i} \quad -2\sqrt{x+1} \le 0

Jednakost je moguća samo ako su obe strane jednake nuli:

x + 1 = 0 \quad \text{i} \quad -2\sqrt{x+1} = 0

Iz ovoga direktno sledi rešenje:

x = -1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu. Pošto $-1 \in [-1, +\infty) ,$ rešenje je validno. Takođe možemo proveriti zamenom u početnu jednačinu:

\sqrt{-1+1} + \sqrt{2(-1)+3} = 0 + \sqrt{1} = 1

Konačno rešenje jednačine je:

x = -1

Započni učenje

Privatni časovi

362.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci