1855. Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne.

\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x - 3 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po $x .$

\begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{3}{2} \end{cases} \implies x \in [\frac{3}{2}, +\infty)

Prebacujemo jedan koren na desnu stranu kako bismo lakše kvadrirali jednačinu.

\sqrt{x+2} = 1 + \sqrt{2x-3}

Kvadriramo obe strane jednačine. Kako su obe strane nenegativne za $x \ge \frac{3}{2} ,$ nema dodatnih uslova.

(\sqrt{x+2})^2 = (1 + \sqrt{2x-3})^2

Sređujemo izraz koristeći formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

x + 2 = 1 + 2\sqrt{2x-3} + 2x - 3

Izolujemo preostali koren na jednoj strani.

x + 2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x-3} \\ -x + 4 = 2\sqrt{2x-3}

Pre ponovnog kvadriranja, uvodimo uslov da desna strana (odnosno leva strana jednačine $4-x$ ) mora biti nenegativna.

4 - x \ge 0 \implies x \le 4

Kvadriramo jednačinu pod uslovom $x \in [\frac{3}{2}, 4] .$

(4 - x)^2 = (2\sqrt{2x-3})^2 \\ 16 - 8x + x^2 = 4(2x - 3)

Sređujemo kvadratnu jednačinu.

16 - 8x + x^2 = 8x - 12 \\ x^2 - 16x + 28 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule.

x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 112}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja.

x_1 = \frac{16 + 12}{2} = 14, \quad x_2 = \frac{16 - 12}{2} = 2

Proveravamo da li rešenja pripadaju definisanom intervalu $x \in [\frac{3}{2}, 4] .$

x_1 = 14 \notin [\frac{3}{2}, 4] \\ x_2 = 2 \in [\frac{3}{2}, 4]

Jedino validno rešenje jednačine je:

x = 2

360.d