Iracionalna jednačina bez rešenja: koren = x - 2

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorena veličina mora biti nenegativna:

2x^2 - x \ge 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu nalazeći nule funkcije $f(x) = x(2x-1) :$

x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{1}{2}

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, \frac{1}{2})

x \in (\frac{1}{2}, +\infty)

x

-

+

+

2x-1

-

-

+

2x^2-x

+

-

+

Domen jednačine je skup vrednosti za koje je izraz pod korenom veći ili jednak nuli:

D: x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)

Budući da je leva strana jednačine koren (koji je uvek nenegativan), desna strana takođe mora biti nenegativna da bi jednačina imala rešenja:

x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2

Kombinovanjem domena $D$ i uslova $x \ge 2 ,$ dobijamo konačan uslov za rešenja:

x \in [2, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(\sqrt{2x^2-x})^2 = (x-2)^2

Sređujemo dobijeni izraz:

2x^2 - x = x^2 - 4x + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

x^2 + 3x - 4 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4

Proveravamo da li rešenja zadovoljavaju uslov $x \ge 2 :$

1 < 2 \quad \text{i} \quad -4 < 2

Pošto nijedno od dobijenih rešenja ne zadovoljava uslov $x \ge 2 ,$ polazna jednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

360.đ