1857.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti iracionalnu jednačinu: 2x2−x=x−2. \sqrt{2x^2-x} = x-2 .

2x2−x=x−2\sqrt{2x^2-x} = x-2
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Potkorena veličina mora biti nenegativna:

2x2−x≥02x^2 - x \ge 0

Rešavamo kvadratnu nejednačinu nalazeći nule funkcije f(x)=x(2x−1): f(x) = x(2x-1) :

x1=0,x2=12x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{1}{2}
x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
x∈(0,12)x \in (0, \frac{1}{2})
x∈(12,+∞)x \in (\frac{1}{2}, +\infty)
xx
−-
++
++
2x−12x-1
−-
−-
++
2x2−x2x^2-x
++
−-
++

Domen jednačine je skup vrednosti za koje je izraz pod korenom veći ili jednak nuli:

D:x∈(−∞,0]∪[12,+∞)D: x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)

Budući da je leva strana jednačine koren (koji je uvek nenegativan), desna strana takođe mora biti nenegativna da bi jednačina imala rešenja:

x−2≥0  ⟹  x≥2x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2

Kombinovanjem domena D D i uslova x≥2, x \ge 2 , dobijamo konačan uslov za rešenja:

x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty)

Sada kvadriramo obe strane jednačine:

(2x2−x)2=(x−2)2(\sqrt{2x^2-x})^2 = (x-2)^2

Sređujemo dobijeni izraz:

2x2−x=x2−4x+42x^2 - x = x^2 - 4x + 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

x2+3x−4=0x^2 + 3x - 4 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine pomoću formule:

x1,2=−3±32−4⋅1⋅(−4)2⋅1=−3±252x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=−3+52=1,x2=−3−52=−4x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4

Proveravamo da li rešenja zadovoljavaju uslov x≥2: x \ge 2 :

1<2i−4<21 < 2 \quad \text{i} \quad -4 < 2

Pošto nijedno od dobijenih rešenja ne zadovoljava uslov x≥2, x \ge 2 , polazna jednačina nema rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti