1853.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: 2x−1+√x−5+3=0. \sqrt{2x-1} + √{x-5} + 3 = 0 .

2x−1+x−5+3=0\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-5} + 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u rešavanju jednačina sa kvadratnim korenima je određivanje domena definisanosti (oblasti definisanosti). Potkorene veličine moraju biti nenegativne.

{2x−1≥0x−5≥0\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 5 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina po x: x :

{2x≥1x≥5  ⟹  {x≥12x≥5\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 5 \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen jednačine:

D:x∈[5,+∞)D: x \in [5, +\infty)

Sada analiziramo samu jednačinu. Posmatramo levu stranu jednačine:

f(x)=2x−1+x−5+3f(x) = \sqrt{2x-1} + \sqrt{x-5} + 3

Znamo da je vrednost kvadratnog korena uvek nenegativna za svako x x iz domena:

2x−1≥0ix−5≥0\sqrt{2x-1} \ge 0 \quad \text{i} \quad \sqrt{x-5} \ge 0

Kada saberemo dva nenegativna broja i pozitivan broj 3, dobijamo strogo pozitivan rezultat:

2x−1+x−5+3≥0+0+3=3\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-5} + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3

Pošto je leva strana jednačine uvek veća ili jednaka 3 za svako x x iz domena, ona nikada ne može biti jednaka nuli.

3≠03 \neq 0

Zaključujemo da polazna jednačina nema realnih rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti