1864.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

x2−4x2−11=x−1\sqrt{x^2 - \sqrt{4x^2-11}} = x-1
REŠENJE ZADATKA

Postavljamo uslove definisanosti jednačine. Potkorene veličine moraju biti nenegativne, a desna strana jednačine takođe mora biti nenegativna jer je jednaka kvadratnom korenu.

{4x2−11≥0x2−4x2−11≥0x−1≥0\begin{cases} 4x^2 - 11 \ge 0 \\ x^2 - \sqrt{4x^2-11} \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo prvi uslov:

4x2−11≥0  ⟹  x2≥114  ⟹  x∈(−∞,−112]∪[112,+∞)4x^2 - 11 \ge 0 \implies x^2 \ge \frac{11}{4} \implies x \in \left(-\infty, -\frac{\sqrt{11}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{11}}{2}, +\infty\right)

Rešavamo drugi uslov. Prebacujemo koren na desnu stranu i kvadriramo:

x2≥4x2−11  ⟹  x4≥4x2−11  ⟹  x4−4x2+11≥0x^2 \ge \sqrt{4x^2-11} \implies x^4 \ge 4x^2 - 11 \implies x^4 - 4x^2 + 11 \ge 0

Uvodimo smenu t=x2 t = x^2 i posmatramo kvadratnu funkciju t2−4t+11. t^2 - 4t + 11 . Njena diskriminanta je D=16−44=−28<0. D = 16 - 44 = -28 < 0 . Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, izraz je uvek strogo veći od nule za svako realno x. x .

x∈Rx \in \mathbb{R}

Rešavamo treći uslov:

x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1

Presek svih uslova daje domen jednačine. Kako je 112≈1.658>1, \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.658 > 1 , konačan uslov je:

x∈[112,+∞)x \in \left[\frac{\sqrt{11}}{2}, +\infty\right)

Sada kvadriramo polaznu jednačinu:

x2−4x2−11=(x−1)2x^2 - \sqrt{4x^2-11} = (x-1)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani:

x2−4x2−11=x2−2x+1x^2 - \sqrt{4x^2-11} = x^2 - 2x + 1

Skraćujemo x2 x^2 sa obe strane i množimo jednačinu sa −1 -1 kako bismo izolovali koren:

4x2−11=2x−1\sqrt{4x^2-11} = 2x - 1

Da bismo ponovo kvadrirali, desna strana mora biti nenegativna. Ovaj uslov je već obuhvaćen našim početnim domenom:

2x−1≥0  ⟹  x≥122x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}

Kvadriramo dobijenu jednačinu:

4x2−11=(2x−1)24x^2 - 11 = (2x - 1)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani:

4x2−11=4x2−4x+14x^2 - 11 = 4x^2 - 4x + 1

Skraćujemo 4x2 4x^2 sa obe strane i rešavamo linearnu jednačinu po x: x :

−11=−4x+1  ⟹  4x=12-11 = -4x + 1 \implies 4x = 12

Dobijamo potencijalno rešenje:

x=3x = 3

Proveravamo da li rešenje pripada domenu. Pošto je 3=362>112, 3 = \frac{\sqrt{36}}{2} > \frac{\sqrt{11}}{2} , rešenje je prihvatljivo.

x=3x = 3

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti