1874. Iracionalne jednačine i nejednačine

Da bismo se oslobodili spoljašnjeg korena, kvadriramo obe strane jednačine.

x + \sqrt{x^2-14x+22} = 2^2

Računamo kvadrat na desnoj strani.

x + \sqrt{x^2-14x+22} = 4

Izolujemo preostali koren tako što prebacimo $x$ na desnu stranu.

\sqrt{x^2-14x+22} = 4 - x

Da bi jednačina imala rešenja, desna strana mora biti nenegativna, jer je kvadratni koren uvek nenegativan. Postavljamo uslov:

4 - x \ge 0 \implies x \le 4

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili preostalog korena.

x^2 - 14x + 22 = (4 - x)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani.

x^2 - 14x + 22 = 16 - 8x + x^2

Oduzimamo $x^2$ sa obe strane jednačine.

-14x + 22 = 16 - 8x

Grupišemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu.

-14x + 8x = 16 - 22

Sređujemo obe strane jednačine.

-6x = -6

Delimo obe strane sa $-6$ da bismo dobili vrednost za $x .$

x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje zadovoljava uslov $x \le 4 .$

1 \le 4

Pošto je uslov ispunjen, proveravamo rešenje u početnoj jednačini.

\sqrt{1 + \sqrt{1^2-14 \cdot 1+22}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

Zaključujemo da je rešenje jednačine:

x = 1

1874.Iracionalne jednačine i nejednačine