Iracionalna jednačina: dvostruki koren jednak 5

Pre nego što počnemo sa rešavanjem, primećujemo da potkorena veličina unutrašnjeg korena mora biti nenegativna:

x^2+2x-32 \ge 0

Kvadriramo obe strane polazne jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena:

x^2+2x+1 - 6\sqrt{x^2+2x-32} = 25

Prebacujemo broj 25 na levu stranu i grupišemo članove:

x^2+2x - 24 - 6\sqrt{x^2+2x-32} = 0

Uvodimo smenu kako bismo uprostili jednačinu. Neka je $t = \sqrt{x^2+2x-32} ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$

t = \sqrt{x^2+2x-32}

Kvadriranjem smene dobijamo vezu koju možemo iskoristiti za preostali deo jednačine:

t^2 = x^2+2x-32 \implies x^2+2x = t^2+32

Zamenjujemo dobijeni izraz u jednačinu iz koraka 3:

(t^2+32) - 24 - 6t = 0

Sređujemo izraz i dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 - 6t + 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorišući je ili koristeći formulu:

(t-2)(t-4) = 0

Rešenja za $t$ su:

t_1 = 2, \quad t_2 = 4

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = 2 :$

\sqrt{x^2+2x-32} = 2

Kvadriramo obe strane i rešavamo kvadratnu jednačinu:

x^2+2x-32 = 4 \implies x^2+2x-36 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{37}}{2} = -1 \pm \sqrt{37}

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = 4 :$

\sqrt{x^2+2x-32} = 4

Kvadriramo obe strane i rešavamo kvadratnu jednačinu:

x^2+2x-32 = 16 \implies x^2+2x-48 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}

Računamo rešenja:

x_3 = 6, \quad x_4 = -8

Sva dobijena rešenja zadovoljavaju uslov $x^2+2x-32 \ge 0$ jer smo ih dobili iz jednačina $x^2+2x-32 = 4$ i $x^2+2x-32 = 16 .$ Konačan skup rešenja je:

x \in \{-8, -1-\sqrt{37}, -1+\sqrt{37}, 6\}

Započni učenje

Privatni časovi

365.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci