1865.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

x2+2x+1−6x2+2x−32=5\sqrt{x^2+2x+1 - 6\sqrt{x^2+2x-32}} = 5
REŠENJE ZADATKA

Pre nego što počnemo sa rešavanjem, primećujemo da potkorena veličina unutrašnjeg korena mora biti nenegativna:

x2+2x−32≥0x^2+2x-32 \ge 0

Kvadriramo obe strane polazne jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena:

x2+2x+1−6x2+2x−32=25x^2+2x+1 - 6\sqrt{x^2+2x-32} = 25

Prebacujemo broj 25 na levu stranu i grupišemo članove:

x2+2x−24−6x2+2x−32=0x^2+2x - 24 - 6\sqrt{x^2+2x-32} = 0

Uvodimo smenu kako bismo uprostili jednačinu. Neka je t=x2+2x−32, t = \sqrt{x^2+2x-32} , pri čemu je t≥0. t \ge 0 .

t=x2+2x−32t = \sqrt{x^2+2x-32}

Kvadriranjem smene dobijamo vezu koju možemo iskoristiti za preostali deo jednačine:

t2=x2+2x−32  ⟹  x2+2x=t2+32t^2 = x^2+2x-32 \implies x^2+2x = t^2+32

Zamenjujemo dobijeni izraz u jednačinu iz koraka 3:

(t2+32)−24−6t=0(t^2+32) - 24 - 6t = 0

Sređujemo izraz i dobijamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu faktorišući je ili koristeći formulu:

(t−2)(t−4)=0(t-2)(t-4) = 0

Rešenja za t t su:

t1=2,t2=4t_1 = 2, \quad t_2 = 4

Vraćamo smenu za prvi slučaj t1=2: t_1 = 2 :

x2+2x−32=2\sqrt{x^2+2x-32} = 2

Kvadriramo obe strane i rešavamo kvadratnu jednačinu:

x2+2x−32=4  ⟹  x2+2x−36=0x^2+2x-32 = 4 \implies x^2+2x-36 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−2±4−4⋅1⋅(−36)2=−2±1482=−2±2372=−1±37x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{37}}{2} = -1 \pm \sqrt{37}

Vraćamo smenu za drugi slučaj t2=4: t_2 = 4 :

x2+2x−32=4\sqrt{x^2+2x-32} = 4

Kvadriramo obe strane i rešavamo kvadratnu jednačinu:

x2+2x−32=16  ⟹  x2+2x−48=0x^2+2x-32 = 16 \implies x^2+2x-48 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x3,4=−2±4−4⋅1⋅(−48)2=−2±1962=−2±142x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}

Računamo rešenja:

x3=6,x4=−8x_3 = 6, \quad x_4 = -8

Sva dobijena rešenja zadovoljavaju uslov x2+2x−32≥0 x^2+2x-32 \ge 0 jer smo ih dobili iz jednačina x2+2x−32=4 x^2+2x-32 = 4 i x2+2x−32=16. x^2+2x-32 = 16 . Konačan skup rešenja je:

x∈{−8,−1−37,−1+37,6}x \in \{-8, -1-\sqrt{37}, -1+\sqrt{37}, 6\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti