1871. Iracionalne jednačine i nejednačine

Da bismo dokazali ovaj identitet, označićemo levu stranu jednačine sa $A$ i kvadrirati je. Prvo primećujemo da izrazi pod korenima moraju biti nenegativni, što znači da je $x \ge 1 .$

A = \sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}}

Kvadriramo obe strane jednačine.

A^2 = \left( \sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} \right)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

A^2 = \left(\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}}\right)^2 + 2\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}}\sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} + \left(\sqrt{x - \sqrt{x^2-1}}\right)^2

Kvadrat i koren se potiru za prvi i treći sabirak.

A^2 = x + \sqrt{x^2-1} + 2\sqrt{(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1})} + x - \sqrt{x^2-1}

Grupišemo slične članove. Članovi $\sqrt{x^2-1}$ i $-\sqrt{x^2-1}$ se potiru, a $x + x = 2x .$

A^2 = 2x + 2\sqrt{(x + \sqrt{x^2-1})(x - \sqrt{x^2-1})}

Pod korenom primenjujemo formulu za razliku kvadrata: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .$

A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - (\sqrt{x^2-1})^2}

Kvadriramo izraz $\sqrt{x^2-1}$ pod korenom.

A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - (x^2 - 1)}

Sređujemo izraz pod korenom.

A^2 = 2x + 2\sqrt{x^2 - x^2 + 1}

Nakon oduzimanja, pod korenom ostaje samo $1 .$

A^2 = 2x + 2\sqrt{1}

Izvlačimo zajednički činilac $2 .$

A^2 = 2(x + 1)

Pošto je $A$ zbir dva pozitivna korena (za $x \ge 1$ ), $A$ mora biti pozitivno. Zato uzimamo samo pozitivnu vrednost korena.

A = \sqrt{2(x + 1)}

Vraćanjem početne smene za $A ,$ dobijamo traženi identitet.

\sqrt{x + \sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^2-1}} = \sqrt{2(x+1)}

365.d