Jednačina sa kubnim korenima: zbir tri korena je 0

Prebacimo jedan od korenova na desnu stranu jednačine:

\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+2} = -\sqrt[3]{x+1}

Stepenujmo obe strane jednačine na treći stepen. Koristimo formulu za kub binoma $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) :$

(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+2})^3 = (-\sqrt[3]{x+1})^3

Primenjujemo formulu na levu stranu:

x + x + 2 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x+2}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+2}) = -(x+1)

Iz prvog koraka znamo da je $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+2} = -\sqrt[3]{x+1} .$ Zamenićemo to u dobijeni izraz:

2x + 2 + 3\sqrt[3]{x(x+2)}(-\sqrt[3]{x+1}) = -x - 1

Prebacimo sve članove bez korena na levu stranu, a član sa korenom na desnu:

2x + 2 + x + 1 = 3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}

Sredimo levu stranu jednačine:

3x + 3 = 3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}

Podelimo celu jednačinu sa 3:

x + 1 = \sqrt[3]{x(x+1)(x+2)}

Ponovo stepenujemo obe strane na treći stepen kako bismo se oslobodili korena:

(x+1)^3 = x(x+1)(x+2)

Prebacimo sve na levu stranu kako bismo faktorisali izraz:

(x+1)^3 - x(x+1)(x+2) = 0

Izvučemo zajednički činilac $(x+1)$ ispred zagrade:

(x+1)((x+1)^2 - x(x+2)) = 0

Kvadriramo binom i pomnožimo članove unutar srednje zagrade:

(x+1)(x^2 + 2x + 1 - (x^2 + 2x)) = 0

Sredimo izraz u drugoj zagradi:

(x+1)(x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x) = 0

Nakon skraćivanja u drugoj zagradi ostaje samo 1:

(x+1) \cdot 1 = 0

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

x = -1

Proverimo dobijeno rešenje zamenom u početnu jednačinu:

\sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{-1+2} = -1 + 0 + 1 = 0

Pošto je jednakost tačna, konačno rešenje je:

x = -1

366.a