1882. Iracionalne jednačine i nejednačine

Polazna jednačina je:

\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}

Stepenujemo obe strane jednačine na treći stepen.

(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1})^3 = (\sqrt[3]{x-1})^3

Koristimo formulu za kub binoma u obliku $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) .$

x+1 + 3x+1 + 3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1}) = x-1

Prema polaznoj jednačini, zbir kubnih korena u zagradi možemo zameniti sa $\sqrt[3]{x-1} .$

4x + 2 + 3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)}\sqrt[3]{x-1} = x - 1

Prebacujemo sve članove van korena na desnu stranu i množimo potkorene veličine.

3\sqrt[3]{(x+1)(x-1)(3x+1)} = x - 1 - 4x - 2

Sređujemo desnu stranu i primenjujemo razliku kvadrata pod korenom.

3\sqrt[3]{(x^2-1)(3x+1)} = -3x - 3

Delimo celu jednačinu sa 3.

\sqrt[3]{(x^2-1)(3x+1)} = -x - 1

Ponovo stepenujemo obe strane na treći stepen.

(x^2-1)(3x+1) = (-x-1)^3

Zapisujemo $x^2-1$ kao $(x-1)(x+1)$ i izdvajamo minus iz desne strane.

(x-1)(x+1)(3x+1) = -(x+1)^3

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo faktorisali izraz.

(x-1)(x+1)(3x+1) + (x+1)^3 = 0

Izvlačimo zajednički faktor $(x+1)$ ispred zagrade.

(x+1) \left[ (x-1)(3x+1) + (x+1)^2 \right] = 0

Sređujemo izraz unutar srednjih zagrada.

(x+1) (3x^2 - 2x - 1 + x^2 + 2x + 1) = 0

Sabiramo slične članove u drugoj zagradi.

(x+1) (4x^2) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Nalazimo potencijalna rešenja.

x+1 = 0 \implies x_1 = -1 \\ 4x^2 = 0 \implies x_2 = 0

Pošto smo tokom rešavanja koristili zamenu koja može uvesti lažna rešenja, moramo proveriti dobijena rešenja u polaznoj jednačini. Proveravamo za $x = 0 .$

\sqrt[3]{0+1} + \sqrt[3]{3 \cdot 0+1} = \sqrt[3]{0-1} \implies 1 + 1 = -1 \implies 2 = -1 \quad (\text{netačno})

Sada proveravamo rešenje $x = -1 .$

\sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{3(-1)+1} = \sqrt[3]{-1-1} \implies 0 + \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{-2} \quad (\text{tačno})

Zaključujemo da je jedino tačno rešenje jednačine:

x = -1

366.d