Jednačina sa kubnim korenima: smena t = kubni koren

Prebacujemo sve članove na levu stranu i uočavamo da se jednačina može svesti na kvadratnu uvođenjem smene $t = \sqrt[3]{x} .$ Kako je $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 ,$ sledi da je $\sqrt[3]{x^2} = t^2 .$

2t^2 - 5t - 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$ Prvo računamo diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine primenom formule:

t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}

Razdvajamo rešenja za $t :$

t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 3 .$ Da bismo našli $x ,$ stepenujemo obe strane jednačine na treći stepen:

\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -\frac{1}{2}$ i takođe stepenujemo na treći stepen:

\sqrt[3]{x} = -\frac{1}{2} \implies x = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}

Zapisujemo konačan skup rešenja polazne jednačine:

x \in \left\{ -\frac{1}{8}, 27 \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

366.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci