Jednačina x na 6 + 3x na 3 + 2 sa kubnim korenom

Uvodimo smenu $t = x^3$ kako bismo jednačinu sveli na kvadratni oblik. Primetimo da je tada $x^6 = (x^3)^2 = t^2 .$

t^2 + 3t + 2 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po promenljivoj $t$ koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti koeficijenata $a=1, b=3, c=2$ u obrazac i računamo diskriminantu.

t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2

Vraćamo smenu $x^3 = t$ za prvo rešenje $t_1 = -1 .$

x^3 = -1 \implies x = \sqrt[3]{-1}

Pošto tražimo realna rešenja, dobijamo prvu vrednost:

x_1 = -1

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = -2 .$

x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}

Realno rešenje možemo zapisati izvlačenjem minusa ispred korena:

x_2 = -\sqrt[3]{2}

Konačna realna rešenja jednačine su:

x \in \{-1, -\sqrt[3]{2}\}

240.a