Bikvadratna jednačina sa parametrom a i brojem 9

Uvodimo smenu $t = x^2 .$ Kako je kvadrat broja uvek ne-negativan, mora važiti $t \ge 0 .$ Zamenom smene u početnu jednačinu, dobijamo kvadratnu jednačinu po promenljivoj $t :$

t^2 - (9 + a^2)t + 9a^2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $At^2 + Bt + C = 0 :$

A = 1, \quad B = -(9 + a^2), \quad C = 9a^2

Računamo diskriminantu jednačine $D = B^2 - 4AC :$

D = [-(9 + a^2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9a^2 = (9 + a^2)^2 - 36a^2

Sređujemo izraz za diskriminantu koristeći kvadrat binoma:

D = 81 + 18a^2 + a^4 - 36a^2 = a^4 - 18a^2 + 81 = (a^2 - 9)^2

Nalazimo rešenja po $t$ koristeći kvadratnu formulu $t_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} :$

t_{1,2} = \frac{9 + a^2 \pm \sqrt{(a^2 - 9)^2}}{2}

Računamo konkretne vrednosti za $t_1$ i $t_2 :$

t_1 = \frac{9 + a^2 + (a^2 - 9)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2, \quad t_2 = \frac{9 + a^2 - (a^2 - 9)}{2} = \frac{18}{2} = 9

Vraćamo smenu $x^2 = t$ za oba rešenja kako bismo pronašli vrednosti promenljive $x .$ Prvi slučaj je $x^2 = a^2 :$

x_1 = a, \quad x_2 = -a

Drugi slučaj je $x^2 = 9 :$

x_3 = 3, \quad x_4 = -3

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{a, -a, 3, -3\}

Započni učenje

Privatni časovi

239.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci