Jednačina x na 6 − 28x na 3 + 27: rešenja 1 i 3

Jednačinu možemo rešiti uvođenjem smene $t = x^3 .$ Tada jednačina postaje kvadratna po promenljivoj $t ,$ jer je $x^6 = (x^3)^2 .$

t^2 - 28t + 27 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

t_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu i vrednosti pod korenom.

t_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 108}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{676}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za promenljivu $t :$

t_1 = \frac{28 + 26}{2} = 27, \quad t_2 = \frac{28 - 26}{2} = 1

Vraćamo smenu $x^3 = t$ za prvu vrednost $t_1 = 27 :$

x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27}

Računamo prvo realno rešenje:

x_1 = 3

Vraćamo smenu $x^3 = t$ za drugu vrednost $t_2 = 1 :$

x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1}

Računamo drugo realno rešenje:

x_2 = 1

Skup realnih rešenja date jednačine je:

x \in \{1, 3\}

240.b