1474.

240.v

TEKST ZADATKA

Naći realna rešenja jednačine:

x6−9x3+8=0x^6 - 9x^3 + 8 = 0
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smenu t=x3 t = x^3 kako bismo jednačinu sveli na kvadratni oblik.

t2−9t+8=0t^2 - 9t + 8 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t1,2=−b±b2−4ac2at_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti a=1, a = 1 , b=−9 b = -9 i c=8 c = 8 u obrazac i računamo.

t1,2=9±(−9)2−4⋅1⋅82⋅1=9±81−322=9±492t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=9+72=8,t2=9−72=1t_1 = \frac{9 + 7}{2} = 8, \quad t_2 = \frac{9 - 7}{2} = 1

Sada vraćamo smenu x3=t x^3 = t za oba slučaja kako bismo našli realna rešenja po x. x .

x3=8ilix3=1x^3 = 8 \quad \text{ili} \quad x^3 = 1

Računamo treći koren iz obe vrednosti da bismo dobili realna rešenja.

x1=83=2,x2=13=1x_1 = \sqrt[3]{8} = 2, \quad x_2 = \sqrt[3]{1} = 1

Konačna realna rešenja jednačine su:

x∈{1,2}x \in \{1, 2\}