1500. Jednačine koje se svode na kvadratne

Uvodimo smenu $t = x^2 - 16x$ kako bismo sveli jednačinu na kvadratnu po promenljivoj $t .$

t^2 - 2t - 63 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac za korene kvadratne jednačine.

t_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednosti pod korenom (diskriminantu) i nalazimo rešenja za $t .$

t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{2 \pm 16}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = 9, \quad t_2 = -7

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = 9 :$

x^2 - 16x = 9 \implies x^2 - 16x - 9 = 0

Rešavamo prvu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 36}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{292}}{2}

Sređujemo izraz koristeći $\sqrt{292} = 2\sqrt{73} :$

x_{1,2} = 8 \pm \sqrt{73}

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = -7 :$

x^2 - 16x = -7 \implies x^2 - 16x + 7 = 0

Rešavamo drugu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{3,4} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 28}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{228}}{2}

Sređujemo izraz koristeći $\sqrt{228} = 2\sqrt{57} :$

x_{3,4} = 8 \pm \sqrt{57}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{8 - \sqrt{73}, 8 + \sqrt{73}, 8 - \sqrt{57}, 8 + \sqrt{57}\}

1500.Jednačine koje se svode na kvadratne