Smena x na 2 + 2x u racionalnoj jednačini

Primećujemo da se izraz $x^2 + 2x$ ponavlja u svim delovima jednačine. Uvodimo smenu $t = x^2 + 2x .$

t = x^2 + 2x

Zamenom smene u polaznu jednačinu, dobijamo racionalnu jednačinu po promenljivoj $t :$

\frac{t + 7}{t + 3} = t + 4

Da bismo rešili jednačinu, množimo obe strane sa $t + 3$ uz uslov da je $t + 3 \neq 0 ,$ odnosno $t \neq -3 .$

t + 7 = (t + 4)(t + 3)

Množimo binome na desnoj strani i sređujemo jednačinu.

t + 7 = t^2 + 3t + 4t + 12

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

t^2 + 6t + 5 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu ili faktorizaciju.

t_1 = -1, \quad t_2 = -5

Sada vraćamo smenu za prvi slučaj $t = -1 :$

x^2 + 2x = -1 \implies x^2 + 2x + 1 = 0

Ova jednačina je kvadrat binoma $(x+1)^2 = 0 ,$ odakle dobijamo dvostruko realno rešenje:

x_{1,2} = -1

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t = -5 :$

x^2 + 2x = -5 \implies x^2 + 2x + 5 = 0

Računamo diskriminantu ove kvadratne jednačine.

D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16

Pošto je diskriminanta negativna, rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi.

x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{-1, -1 + 2i, -1 - 2i\}

241.v