1529. Jednačine koje se svode na kvadratne

Grupišemo prvi i četvrti, i drugi i treći član kako bismo dobili slične izraze nakon množenja.

(x(x + 3))((x + 1)(x + 2)) = \frac{9}{16}

Nakon množenja zagrada, jednačina postaje:

(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = \frac{9}{16}

Uvodimo smenu $t = x^2 + 3x .$ Tada jednačina dobija oblik:

t(t + 2) = \frac{9}{16}

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 + 2t - \frac{9}{16} = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac:

t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{9}{16})}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + \frac{9}{4}}}{2} = \frac{-2 \pm \frac{5}{2}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{1}{4}, \quad t_2 = -\frac{9}{4}

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = \frac{1}{4} :$

x^2 + 3x = \frac{1}{4} \implies 4x^2 + 12x - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu za $x_1$ i $x_2 :$

x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 16}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{10}}{2}

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = -\frac{9}{4} :$

x^2 + 3x = -\frac{9}{4} \implies 4x^2 + 12x + 9 = 0

Primećujemo da je ovo kvadrat binoma $(2x + 3)^2 = 0 ,$ odakle dobijamo dvostruko rešenje:

x_{3,4} = -\frac{3}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ \frac{-3 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{10}}{2}, -\frac{3}{2} \right\}

1529.Jednačine koje se svode na kvadratne