1530.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (kososimetričnu):

2x5+x4−19x3+19x2−x−2=02x^5 + x^4 - 19x^3 + 19x^2 - x - 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ovo kososimetrična jednačina neparnog stepena. Kod takvih jednačina, jedno rešenje je uvek x1=1. x_1 = 1 . Proveravamo zamenom: 2(1)5+14−19(1)3+19(1)2−1−2=2+1−19+19−1−2=0. 2(1)^5 + 1^4 - 19(1)^3 + 19(1)^2 - 1 - 2 = 2 + 1 - 19 + 19 - 1 - 2 = 0 .

x1=1x_1 = 1

Kako je x=1 x = 1 koren, možemo podeliti polinom sa (x−1) (x - 1) koristeći Hornerovu šemu ili deljenje polinoma kako bismo dobili simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x−1)(2x4+3x3−16x2+3x+2)=0(x - 1)(2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2) = 0

Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena. Delimo celu jednačinu sa x2 x^2 (uz uslov x≠0 x \neq 0 ):

2x2+3x−16+3x+2x2=02x^2 + 3x - 16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

2(x2+1x2)+3(x+1x)−16=02\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) - 16 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

2(t2−2)+3t−16=0  ⟹  2t2+3t−20=02(t^2 - 2) + 3t - 16 = 0 \implies 2t^2 + 3t - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći obrazac:

t1,2=−3±9−4⋅2⋅(−20)4=−3±134t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{4} = \frac{-3 \pm 13}{4}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=104=52,t2=−164=−4t_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \quad t_2 = \frac{-16}{4} = -4

Vraćamo smenu za t1=52: t_1 = \frac{5}{2} :

x+1x=52  ⟹  2x2−5x+2=0x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x2=2,x3=12x_2 = 2, \quad x_3 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za t2=−4: t_2 = -4 :

x+1x=−4  ⟹  x2+4x+1=0x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x4,5=−4±16−42=−4±232=−2±3x_{4,5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{1,2,12,−2+3,−2−3}x \in \left\{ 1, 2, \frac{1}{2}, -2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti