Kososimetrična jednačina šestog stepena

Primećujemo da je ovo kososimetrična (antimetrična) jednačina parnog stepena jer su koeficijenti uz $x^k$ i $x^{n-k}$ suprotnog znaka. Takve jednačine uvek imaju rešenja $x_1 = 1$ i $x_2 = -1 .$ To znači da je polinom deljiv sa $(x-1)(x+1) = x^2 - 1 .$

15(x^6 - 1) - 128x(x^4 - 1) + 275x^2(x^2 - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor $x^2 - 1$ iz svih članova.

(x^2 - 1)[15(x^4 + x^2 + 1) - 128x(x^2 + 1) + 275x^2] = 0

Sređivanjem izraza unutar zagrade dobijamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x^2 - 1)(15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15) = 0

Prva dva rešenja su:

x_1 = 1, \quad x_2 = -1

Sada rešavamo simetričnu jednačinu deljenjem sa $x^2$ (pošto $x=0$ nije rešenje):

15x^2 - 128x + 290 - \frac{128}{x} + \frac{15}{x^2} = 0

Grupišemo članove i uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} ,$ pri čemu je $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

15(t^2 - 2) - 128t + 290 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $t :$

15t^2 - 128t + 260 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac:

t_{1,2} = \frac{128 \pm \sqrt{128^2 - 4 \cdot 15 \cdot 260}}{2 \cdot 15} = \frac{128 \pm \sqrt{16384 - 15600}}{30} = \frac{128 \pm 28}{30}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{156}{30} = \frac{26}{5}, \quad t_2 = \frac{100}{30} = \frac{10}{3}

Vraćamo smenu za $t_1 = \frac{26}{5} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5} \implies 5x^2 - 26x + 5 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x_3 = 5, \quad x_4 = \frac{1}{5}

Vraćamo smenu za $t_2 = \frac{10}{3} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x_5 = 3, \quad x_6 = \frac{1}{3}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ -1, 1, \frac{1}{5}, 5, \frac{1}{3}, 3 \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

244.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci