Kososimetrična jednačina sa rešenjima i i minus i

Primetimo da je ovo kososimetrična jednačina parnog stepena jer su koeficijenti uz $x^k$ i $x^{n-k}$ suprotnog znaka. Ovakve jednačine uvek imaju rešenja $x_1 = 1$ i $x_2 = -1 .$ Proverom vidimo da je to tačno, pa jednačinu možemo podeliti sa $(x-1)(x+1) = x^2 - 1 .$

3x^6 - 10x^5 + 3x^4 - 3x^2 + 10x - 3 = (x^2 - 1)(3x^4 - 10x^3 + 6x^2 - 10x + 3) = 0

Sada rešavamo dobijenu recipročnu jednačinu četvrtog stepena:

3x^4 - 10x^3 + 6x^2 - 10x + 3 = 0

Kako $x = 0$ nije rešenje, delimo celu jednačinu sa $x^2 :$

3x^2 - 10x + 6 - \frac{10}{x} + \frac{3}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

3\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 10\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

3(t^2 - 2) - 10t + 6 = 0 \implies 3t^2 - 10t = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t(3t - 10) = 0 \implies t_1 = 0, \quad t_2 = \frac{10}{3}

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = 0 :$

x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1

Rešenja ove jednačine u skupu kompleksnih brojeva su:

x_3 = i, \quad x_4 = -i

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = \frac{10}{3} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine:

x_{5,6} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}

Dobijamo preostala dva realna rešenja:

x_5 = 3, \quad x_6 = \frac{1}{3}

Konačan skup svih rešenja jednačine je:

x \in \left\{ 1, -1, 3, \frac{1}{3}, i, -i \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

244.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci