1532.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (kososimetričnu):

12x5−23x4−135x3+135x2+23x−12=012x^5 - 23x^4 - 135x^3 + 135x^2 + 23x - 12 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da je ovo recipročna (kososimetrična) jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina, jedno rešenje je uvek x1=1. x_1 = 1 . Proveravamo zamenom: 12−23−135+135+23−12=0. 12 - 23 - 135 + 135 + 23 - 12 = 0 . Delimo polinom sa (x−1). (x - 1) .

(x−1)(12x4−11x3−146x2−11x+12)=0(x - 1)(12x^4 - 11x^3 - 146x^2 - 11x + 12) = 0

Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena. Delimo celu jednačinu sa x2 x^2 (pošto x=0 x=0 nije rešenje) i grupišemo članove sa istim koeficijentima.

12(x2+1x2)−11(x+1x)−146=012\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 11\left(x + \frac{1}{x}\right) - 146 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po t. t .

12(t2−2)−11t−146=0  ⟹  12t2−11t−170=012(t^2 - 2) - 11t - 146 = 0 \implies 12t^2 - 11t - 170 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po t t koristeći formulu t1,2=−b±b2−4ac2a. t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .

t1=11+9124=10224=174,t2=11−9124=−8024=−103t_1 = \frac{11 + 91}{24} = \frac{102}{24} = \frac{17}{4}, \quad t_2 = \frac{11 - 91}{24} = -\frac{80}{24} = -\frac{10}{3}

Vraćamo smenu za t1=174: t_1 = \frac{17}{4} :

x+1x=174  ⟹  4x2−17x+4=0x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu i nalazimo rešenja x2 x_2 i x3: x_3 :

x2=4,x3=14x_2 = 4, \quad x_3 = \frac{1}{4}

Vraćamo smenu za t2=−103: t_2 = -\frac{10}{3} :

x+1x=−103  ⟹  3x2+10x+3=0x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu i nalazimo rešenja x4 x_4 i x5: x_5 :

x4=−3,x5=−13x_4 = -3, \quad x_5 = -\frac{1}{3}

Konačni skup rešenja polazne jednačine je:

x∈{1,4,14,−3,−13}x \in \left\{ 1, 4, \frac{1}{4}, -3, -\frac{1}{3} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti