Kososimetrična jednačina: rešenja 4, 1/4 i −3

Primećujemo da je ovo recipročna (kososimetrična) jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina, jedno rešenje je uvek $x_1 = 1 .$ Proveravamo zamenom: $12 - 23 - 135 + 135 + 23 - 12 = 0 .$ Delimo polinom sa $(x - 1) .$

(x - 1)(12x^4 - 11x^3 - 146x^2 - 11x + 12) = 0

Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena. Delimo celu jednačinu sa $x^2$ (pošto $x=0$ nije rešenje) i grupišemo članove sa istim koeficijentima.

12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 11\left(x + \frac{1}{x}\right) - 146 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $t .$

12(t^2 - 2) - 11t - 146 = 0 \implies 12t^2 - 11t - 170 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po $t$ koristeći formulu $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

t_1 = \frac{11 + 91}{24} = \frac{102}{24} = \frac{17}{4}, \quad t_2 = \frac{11 - 91}{24} = -\frac{80}{24} = -\frac{10}{3}

Vraćamo smenu za $t_1 = \frac{17}{4} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu i nalazimo rešenja $x_2$ i $x_3 :$

x_2 = 4, \quad x_3 = \frac{1}{4}

Vraćamo smenu za $t_2 = -\frac{10}{3} :$

x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \implies 3x^2 + 10x + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu i nalazimo rešenja $x_4$ i $x_5 :$

x_4 = -3, \quad x_5 = -\frac{1}{3}

Konačni skup rešenja polazne jednačine je:

x \in \left\{ 1, 4, \frac{1}{4}, -3, -\frac{1}{3} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

244.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci