1533.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu (kososimetričnu):

3x6−10x5+3x4−3x2+10x−3=03x^6 - 10x^5 + 3x^4 - 3x^2 + 10x - 3 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ovo kososimetrična jednačina parnog stepena jer su koeficijenti uz xk x^k i xn−k x^{n-k} suprotnog znaka. Ovakve jednačine uvek imaju rešenja x1=1 x_1 = 1 i x2=−1. x_2 = -1 . Proverom vidimo da je to tačno, pa jednačinu možemo podeliti sa (x−1)(x+1)=x2−1. (x-1)(x+1) = x^2 - 1 .

3x6−10x5+3x4−3x2+10x−3=(x2−1)(3x4−10x3+6x2−10x+3)=03x^6 - 10x^5 + 3x^4 - 3x^2 + 10x - 3 = (x^2 - 1)(3x^4 - 10x^3 + 6x^2 - 10x + 3) = 0

Sada rešavamo dobijenu recipročnu jednačinu četvrtog stepena:

3x4−10x3+6x2−10x+3=03x^4 - 10x^3 + 6x^2 - 10x + 3 = 0

Kako x=0 x = 0 nije rešenje, delimo celu jednačinu sa x2: x^2 :

3x2−10x+6−10x+3x2=03x^2 - 10x + 6 - \frac{10}{x} + \frac{3}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

3(x2+1x2)−10(x+1x)+6=03\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 10\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

3(t2−2)−10t+6=0  ⟹  3t2−10t=03(t^2 - 2) - 10t + 6 = 0 \implies 3t^2 - 10t = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t(3t−10)=0  ⟹  t1=0,t2=103t(3t - 10) = 0 \implies t_1 = 0, \quad t_2 = \frac{10}{3}

Vraćamo smenu za prvu vrednost t1=0: t_1 = 0 :

x+1x=0  ⟹  x2+1=0  ⟹  x2=−1x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1

Rešenja ove jednačine u skupu kompleksnih brojeva su:

x3=i,x4=−ix_3 = i, \quad x_4 = -i

Vraćamo smenu za drugu vrednost t2=103: t_2 = \frac{10}{3} :

x+1x=103  ⟹  3x2−10x+3=0x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine:

x5,6=10±100−366=10±86x_{5,6} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}

Dobijamo preostala dva realna rešenja:

x5=3,x6=13x_5 = 3, \quad x_6 = \frac{1}{3}

Konačan skup svih rešenja jednačine je:

x∈{1,−1,3,13,i,−i}x \in \left\{ 1, -1, 3, \frac{1}{3}, i, -i \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti