1531.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (kososimetrične):

15x6−128x5+275x4−275x2+128x−15=015x^6 - 128x^5 + 275x^4 - 275x^2 + 128x - 15 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primećujemo da je ovo kososimetrična (antimetrična) jednačina parnog stepena jer su koeficijenti uz xk x^k i xn−k x^{n-k} suprotnog znaka. Takve jednačine uvek imaju rešenja x1=1 x_1 = 1 i x2=−1. x_2 = -1 . To znači da je polinom deljiv sa (x−1)(x+1)=x2−1. (x-1)(x+1) = x^2 - 1 .

15(x6−1)−128x(x4−1)+275x2(x2−1)=015(x^6 - 1) - 128x(x^4 - 1) + 275x^2(x^2 - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor x2−1 x^2 - 1 iz svih članova.

(x2−1)[15(x4+x2+1)−128x(x2+1)+275x2]=0(x^2 - 1)[15(x^4 + x^2 + 1) - 128x(x^2 + 1) + 275x^2] = 0

Sređivanjem izraza unutar zagrade dobijamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x2−1)(15x4−128x3+290x2−128x+15)=0(x^2 - 1)(15x^4 - 128x^3 + 290x^2 - 128x + 15) = 0

Prva dva rešenja su:

x1=1,x2=−1x_1 = 1, \quad x_2 = -1

Sada rešavamo simetričnu jednačinu deljenjem sa x2 x^2 (pošto x=0 x=0 nije rešenje):

15x2−128x+290−128x+15x2=015x^2 - 128x + 290 - \frac{128}{x} + \frac{15}{x^2} = 0

Grupišemo članove i uvodimo smenu t=x+1x, t = x + \frac{1}{x} , pri čemu je x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .

15(t2−2)−128t+290=015(t^2 - 2) - 128t + 290 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu po t: t :

15t2−128t+260=015t^2 - 128t + 260 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t t koristeći obrazac:

t1,2=128±1282−4⋅15⋅2602⋅15=128±16384−1560030=128±2830t_{1,2} = \frac{128 \pm \sqrt{128^2 - 4 \cdot 15 \cdot 260}}{2 \cdot 15} = \frac{128 \pm \sqrt{16384 - 15600}}{30} = \frac{128 \pm 28}{30}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=15630=265,t2=10030=103t_1 = \frac{156}{30} = \frac{26}{5}, \quad t_2 = \frac{100}{30} = \frac{10}{3}

Vraćamo smenu za t1=265: t_1 = \frac{26}{5} :

x+1x=265  ⟹  5x2−26x+5=0x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5} \implies 5x^2 - 26x + 5 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x3=5,x4=15x_3 = 5, \quad x_4 = \frac{1}{5}

Vraćamo smenu za t2=103: t_2 = \frac{10}{3} :

x+1x=103  ⟹  3x2−10x+3=0x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x5=3,x6=13x_5 = 3, \quad x_6 = \frac{1}{3}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{−1,1,15,5,13,3}x \in \left\{ -1, 1, \frac{1}{5}, 5, \frac{1}{3}, 3 \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti