Recipročna jednačina petog stepena sa korenom −1

Primetimo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina jedno rešenje je uvek $x = -1 .$ Proveravamo zamenom:

(-1)^5 - 2(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 - 2 - 1 + 1 + 2 + 1 = 0

Pošto je $x = -1$ koren, delimo polinom sa $(x + 1)$ koristeći Hornerovu šemu ili grupisanje članova kako bismo dobili simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x + 1)(x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1) = 0

Sada rešavamo povratnu (recipročnu) jednačinu četvrtog stepena unutar zagrade:

x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0

Delimo celu jednačinu sa $x^2$ (pošto $x=0$ nije rešenje) i grupišemo odgovarajuće članove:

\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

(t^2 - 2) - 3t + 4 = 0 \implies t^2 - 3t + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \implies t_1 = 2, t_2 = 1

Vraćamo smenu za $t_1 = 2 :$

x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0

Odavde dobijamo dvostruko rešenje:

x_2 = 1, x_3 = 1

Vraćamo smenu za $t_2 = 1 :$

x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0

Računamo rešenja ove kvadratne jednačine u skupu konjugovano-kompleksnih brojeva:

x_{4,5} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup rešenja polazne jednačine je:

x \in \left\{ -1, 1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

243.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci