Simetrična jednačina: rešenja −1, 3 i 1/3

Primetimo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Kod ovakvih jednačina jedno rešenje je uvek $x_1 = -1 .$ Proveravamo zamenom: $6(-1)^5 - 5(-1)^4 - 29(-1)^3 - 29(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -6 - 5 + 29 - 29 + 5 + 6 = 0 .$

x_1 = -1

Delimo polinom sa $(x + 1)$ koristeći Hornerovu šemu ili deljenje polinoma kako bismo dobili simetričnu jednačinu četvrtog stepena.

(x + 1)(6x^4 - 11x^3 - 18x^2 - 11x + 6) = 0

Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena. Pošto $x = 0$ nije rešenje, delimo celu jednačinu sa $x^2 :$

6x^2 - 11x - 18 - \frac{11}{x} + \frac{6}{x^2} = 0

Grupišemo odgovarajuće članove:

6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 11\left(x + \frac{1}{x}\right) - 18 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

6(t^2 - 2) - 11t - 18 = 0

Sređujemo kvadratnu jednačinu po $t :$

6t^2 - 11t - 30 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po $t :$

t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 6 \cdot (-30)}}{12} = \frac{11 \pm \sqrt{841}}{12} = \frac{11 \pm 29}{12}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}, \quad t_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}

Vraćamo smenu za $t_1 = \frac{10}{3} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo rešenja:

x_2 = 3, \quad x_3 = \frac{1}{3}

Vraćamo smenu za $t_2 = -\frac{3}{2} :$

x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2} \implies 2x^2 + 3x + 2 = 0

Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo konjugovano-kompleksna rešenja jer je diskriminanta negativna $D = 9 - 16 = -7 :$

x_{4,5} = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{4}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ -1, 3, \frac{1}{3}, \frac{-3 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{-3 - i\sqrt{7}}{4} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

243.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci