Simetrična jednačina: rešenja 4, 1/4, 2 i 1/2

Primetimo da je ovo simetrična jednačina četvrtog stepena. Pošto $x=0$ nije rešenje, celu jednačinu delimo sa $x^2 :$

8x^2 - 54x + 101 - \frac{54}{x} + \frac{8}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

8\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 54\left(x + \frac{1}{x}\right) + 101 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

8(t^2 - 2) - 54t + 101 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t :$

8t^2 - 54t + 85 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po $t$ koristeći obrazac:

t_{1,2} = \frac{54 \pm \sqrt{54^2 - 4 \cdot 8 \cdot 85}}{2 \cdot 8} = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 2720}}{16} = \frac{54 \pm 14}{16}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}, \quad t_2 = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}

Vraćamo smenu za prvu vrednost $t_1 = \frac{17}{4} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu za $x_1$ i $x_2 :$

x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8} \implies x_1 = 4, \, x_2 = \frac{1}{4}

Vraćamo smenu za drugu vrednost $t_2 = \frac{5}{2} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu za $x_3$ i $x_4 :$

x_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \implies x_3 = 2, \, x_4 = \frac{1}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ 4, \frac{1}{4}, 2, \frac{1}{2} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

242.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci