1346.

160.g

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

x2+∣x∣−2=0x^2 + |x| - 2 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je x2=∣x∣2. x^2 = |x|^2 . Uvodimo smenu t=∣x∣, t = |x| , uz uslov t≥0, t \ge 0 , kako bismo jednačinu sveli na kvadratnu po t. t .

t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine at2+bt+c=0: at^2 + bt + c = 0 :

a=1,b=1,c=−2a = 1, \quad b = 1, \quad c = -2

Računamo diskriminantu jednačine po formuli D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=12−4⋅1⋅(−2)=1+8=9D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9

Računamo rešenja po promenljivoj t t koristeći obrazac za kvadratnu jednačinu:

t1,2=−1±92⋅1=−1±32t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo dve moguće vrednosti za t: t :

t1=−1+32=1,t2=−1−32=−2t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2

S obzirom na početni uslov t=∣x∣≥0, t = |x| \ge 0 , odbacujemo rešenje t2=−2. t_2 = -2 . Zadržavamo samo:

t=1t = 1

Vraćamo smenu ∣x∣=t |x| = t kako bismo odredili vrednosti za x: x :

∣x∣=1|x| = 1

Rešavanjem jednačine sa apsolutnom vrednošću dobijamo konačna rešenja:

x1=1,x2=−1x_1 = 1, \quad x_2 = -1