Dvostruka apsolutna vrednost uz x kvadrat i x - 1

Na osnovu definicije apsolutne vrednosti, jednačina se razlaže na dva slučaja:

x^2 - |x - 1| = 1 \quad \text{ili} \quad x^2 - |x - 1| = -1

Razmatramo prvi slučaj: $x^2 - |x - 1| = 1 .$ Unutrašnja apsolutna vrednost zavisi od znaka izraza $x - 1 .$

|x - 1| = x^2 - 1

Podslučaj 1.1: $x \ge 1 .$ Tada je $|x - 1| = x - 1 .$

x^2 - (x - 1) = 1 \implies x^2 - x + 1 = 1 \implies x^2 - x = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu $x(x - 1) = 0 .$ Dobijamo rešenja $x = 0$ i $x = 1 .$ Kako je uslov $x \ge 1 ,$ prihvatamo samo:

x_1 = 1

Podslučaj 1.2: $x < 1 .$ Tada je $|x - 1| = -(x - 1) .$

x^2 - (1 - x) = 1 \implies x^2 + x - 1 = 1 \implies x^2 + x - 2 = 0

Računamo rešenja pomoću formule za kvadratnu jednačinu:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Dobijamo $x = 1$ i $x = -2 .$ Uz uslov $x < 1 ,$ jedino rešenje je:

x_2 = -2

Razmatramo drugi slučaj: $x^2 - |x - 1| = -1 .$

|x - 1| = x^2 + 1

Podslučaj 2.1: $x \ge 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 + 1 = x - 1 \implies x^2 - x + 2 = 0

Proveravamo diskriminantu: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 .$ Pošto je $D < 0 ,$ u ovom podslučaju nema realnih rešenja.

D = -7 < 0

Podslučaj 2.2: $x < 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 + 1 = -(x - 1) \implies x^2 + 1 = -x + 1 \implies x^2 + x = 0

Rešavamo jednačinu $x(x + 1) = 0 .$ Dobijamo $x = 0$ i $x = -1 .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x < 1 .$

x_3 = 0, \quad x_4 = -1

Konačan skup svih rešenja jednačine je:

x \in \{-2, -1, 0, 1\}

160.d