Kvadratna jednačina sa apsolutnom vrednošću |x - 2|

Pošto jednačina sadrži apsolutnu vrednost, moramo je rešavati razdvajanjem na dva slučaja zavisno od znaka izraza unutar apsolutne zagrade $x - 2 .$

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & x \ge 2 \\ -(x - 2), & x < 2 \end{cases}

Prvi slučaj: $x \ge 2 .$ U ovom slučaju je $|x - 2| = x - 2 .$ Jednačina postaje:

2x^2 - 5x - 3(x - 2) = 0

Sređujemo jednačinu i dobijamo kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 5x - 3x + 6 = 0 \\ 2x^2 - 8x + 6 = 0

Delimo jednačinu sa 2 radi lakšeg računanja, a zatim primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine.

x^2 - 4x + 3 = 0 \\ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

Računamo rešenja za prvi slučaj:

x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x_1 = 3, \quad x_2 = 1

Proveravamo uslov $x \ge 2 .$ Samo rešenje $x_1 = 3$ zadovoljava uslov, dok $x_2 = 1$ odbacujemo.

x = 3

Drugi slučaj: $x < 2 .$ U ovom slučaju je $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 .$ Jednačina postaje:

2x^2 - 5x - 3(-x + 2) = 0

Sređujemo jednačinu:

2x^2 - 5x + 3x - 6 = 0 \\ 2x^2 - 2x - 6 = 0

Delimo sa 2 i primenjujemo formulu:

x^2 - x - 3 = 0 \\ x_{3,4} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}

Računamo rešenja za drugi slučaj:

x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}

Proveravamo uslov $x < 2 .$ Približna vrednost $\sqrt{13}$ je oko 3.6. Rešenje $\frac{1 + 3.6}{2} \approx 2.3$ ne zadovoljava uslov, dok $\frac{1 - 3.6}{2} \approx -1.3$ zadovoljava.

x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ 3, \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

160.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci