Apsolutna vrednost: x kvadrat - |x - 1| = 0

Prvo definišemo apsolutnu vrednost $|x - 1| .$ Razmatramo dva slučaja na osnovu znaka izraza unutar apsolutne vrednosti.

|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & x \ge 1 \\ -(x - 1), & x < 1 \end{cases}

Prvi slučaj: $x \ge 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 - (x - 1) = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0

Računamo diskriminantu za prvi slučaj:

D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3

Pošto je $D < 0 ,$ u prvom slučaju nema realnih rešenja.

x \in \emptyset

Drugi slučaj: $x < 1 .$ Jednačina postaje:

x^2 - (-(x - 1)) = 0 \implies x^2 + x - 1 = 0

Računamo rešenja koristeći formulu za kvadratnu jednačinu za koeficijente $a=1, b=1, c=-1 :$

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}

Proveravamo uslov $x < 1 .$ Kako je $\sqrt{5} \approx 2.23 ,$ oba rešenja zadovoljavaju uslov jer su manja od 1.

x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.615 < 1, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.615 < 1

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right\}

160.v