1340.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Izračunaj jednačinu:

x2−∣x−1∣=0x^2 - |x - 1| = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost ∣x−1∣. |x - 1| . Razmatramo dva slučaja na osnovu znaka izraza unutar apsolutne vrednosti.

∣x−1∣={x−1,x≥1−(x−1),x<1|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & x \ge 1 \\ -(x - 1), & x < 1 \end{cases}

Prvi slučaj: x≥1. x \ge 1 . Jednačina postaje:

x2−(x−1)=0  ⟹  x2−x+1=0x^2 - (x - 1) = 0 \implies x^2 - x + 1 = 0

Računamo diskriminantu za prvi slučaj:

D=(−1)2−4⋅1⋅1=1−4=−3D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3

Pošto je D<0, D < 0 , u prvom slučaju nema realnih rešenja.

x∈∅x \in \emptyset

Drugi slučaj: x<1. x < 1 . Jednačina postaje:

x2−(−(x−1))=0  ⟹  x2+x−1=0x^2 - (-(x - 1)) = 0 \implies x^2 + x - 1 = 0

Računamo rešenja koristeći formulu za kvadratnu jednačinu za koeficijente a=1,b=1,c=−1: a=1, b=1, c=-1 :

x=−1±12−4⋅1⋅(−1)2⋅1x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=−1+52,x2=−1−52x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}

Proveravamo uslov x<1. x < 1 . Kako je 5≈2.23, \sqrt{5} \approx 2.23 , oba rešenja zadovoljavaju uslov jer su manja od 1.

x1=−1+52≈0.615<1,x2=−1−52≈−1.615<1x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.615 < 1, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.615 < 1

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{−1−52,−1+52}x \in \left\{ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti