1747.

Kvadratne nejednačine

Kada se rešava izraz sa apsolutnom vrednošću, prvo ga definišemo po slučajevima:

Da bismo odredili intervale za slučajeve, analiziramo znak kvadratnog trinoma $x^2 - 5x .$ Njegove nule su $x_1 = 0$ i $x_2 = 5 ,$ a parabola je okrenuta nagore, pa važi:

**Prvi slučaj:** Za $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty)$ izraz pod apsolutnom vrednošću je nenegativan, pa se oslobađamo apsolutne vrednosti bez promene znaka:

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili standardni oblik kvadratne nejednačine:

Nule kvadratne jednačine $x^2 - 5x - 6 = 0$ su $x_1 = -1$ i $x_2 = 6 .$ Pošto je parabola okrenuta nagore, rešenje ove nejednačine je interval između nula:

Rešenje prvog slučaja je presek dobijenog intervala i početnog uslova $x \in (-\infty, 0] \cup [5, +\infty) :$

**Drugi slučaj:** Za $x \in (0, 5)$ izraz pod apsolutnom vrednošću je negativan, pa se oslobađamo apsolutne vrednosti sa promenom znaka:

Množimo nejednačinu sa $-1$ (uz obaveznu promenu znaka nejednakosti) i prebacujemo sve na levu stranu:

Nule kvadratne jednačine $x^2 - 5x + 6 = 0$ su $x_1 = 2$ i $x_2 = 3 .$ Pošto je parabola okrenuta nagore, rešenje ove nejednačine je unija intervala van nula:

Rešenje drugog slučaja je presek dobijenog skupa i početnog uslova $x \in (0, 5) :$

Konačno rešenje zadatka predstavlja uniju rešenja iz prvog i drugog slučaja:

Kada grupišemo i spojimo susedne intervale (jer se nadovezuju u tačkama $0$ i $5$), dobijamo konačan skup rešenja: