1750. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Definišimo izraz pod apsolutnom vrednošću:

|x^2 - 6x + 11| = \begin{cases} x^2 - 6x + 11, & \text{za } x^2 - 6x + 11 \ge 0 \\ -(x^2 - 6x + 11), & \text{za } x^2 - 6x + 11 < 0 \end{cases}

Analizirajmo kvadratni trinom $x^2 - 6x + 11 .$ Računamo njegovu diskriminantu:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8

Pošto je diskriminanta negativna ( $D < 0$ ) i koeficijent uz kvadratni član pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), kvadratni trinom je uvek pozitivan za svako realno $x :$

x^2 - 6x + 11 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Zbog toga možemo osloboditi izraz od apsolutne vrednosti bez promene znaka:

|x^2 - 6x + 11| = x^2 - 6x + 11

Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu:

x^2 - 6x + 11 \geqslant 6

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

x^2 - 6x + 5 \geqslant 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu $x^2 - 6x + 5 = 0$ kako bismo našli nule:

x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

Dobijamo nule kvadratnog trinoma:

x_1 = 1, \quad x_2 = 5

Zapisujemo kvadratni trinom u faktorisanom obliku i formiramo tabelu znakova:

(x-1)(x-5) \geqslant 0

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 5)

x \in (5, +\infty)

x-1

+

+

+

x-5

+

+

+

(x-1)(x-5)

+

+

+

Na osnovu tabele, biramo intervale gde je izraz pozitivan. Pošto je znak nejednakosti $\geqslant ,$ uključujemo i same nule:

x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)

303.b