Kvadratna jednačina sa apsolutnom vrednošću |5x - 2|

Prvo moramo definisati slučajeve na osnovu izraza unutar apsolutne vrednosti. Izraz $5x - 2$ menja znak u tački $x = \frac{2}{5} .$

5x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5}

Slučaj 1: Kada je $x \geq \frac{2}{5} ,$ tada je $|5x - 2| = 5x - 2 .$ Jednačina postaje:

2x^2 - (5x - 2) = 0 \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Računamo diskriminantu za prvi slučaj:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

Tražimo rešenja koristeći formulu za kvadratnu jednačinu:

x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}

Dobijamo dva potencijalna rešenja. Proveravamo da li zadovoljavaju uslov $x \geq \frac{2}{5} :$

x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Oba rešenja ( $2 \geq 0.4$ i $0.5 \geq 0.4$ ) su validna.

x \in \{ \frac{1}{2}, 2 \}

Slučaj 2: Kada je $x < \frac{2}{5} ,$ tada je $|5x - 2| = -(5x - 2) .$ Jednačina postaje:

2x^2 - [-(5x - 2)] = 0 \implies 2x^2 + 5x - 2 = 0

Računamo diskriminantu za drugi slučaj:

D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 + 16 = 41

Tražimo rešenja kvadratne jednačine:

x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{4}

Proveravamo uslov $x < \frac{2}{5} .$ Približna vrednost $\sqrt{41}$ je oko 6.4.

x_3 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4} \approx 0.35, \quad x_4 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4} \approx -2.85

Pošto su oba rešenja manja od $0.4 ,$ oba su validna.

x \in \{ \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{4} \}

Konačan skup rešenja objedinjuje sve validne vrednosti iz oba slučaja:

x \in \left\{ \frac{-5 - \sqrt{41}}{4}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{4}, \frac{1}{2}, 2 \right\}

160.b