1357.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu sa apsolutnim vrednostima:

∣x2−4∣x∣+3∣=x+3|x^2 - 4|x| + 3| = x + 3
REŠENJE ZADATKA

Prvo primećujemo da desna strana jednačine mora biti nenegativna, jer je apsolutna vrednost uvek veća ili jednaka nuli.

x+3≥0  ⟹  x≥−3x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3

Koristimo definiciju apsolutne vrednosti ∣A∣=B  ⟺  A=B ili A=−B. |A| = B \iff A = B \text{ ili } A = -B . Razdvajamo jednačinu na dva slučaja:

x2−4∣x∣+3=x+3ilix2−4∣x∣+3=−(x+3)x^2 - 4|x| + 3 = x + 3 \quad \text{ili} \quad x^2 - 4|x| + 3 = -(x + 3)

Razmatramo prvi slučaj x2−4∣x∣+3=x+3. x^2 - 4|x| + 3 = x + 3 . Sređivanjem dobijamo:

x2−4∣x∣−x=0x^2 - 4|x| - x = 0

Za x≥0, x \ge 0 , jednačina postaje x2−4x−x=0, x^2 - 4x - x = 0 , odnosno x2−5x=0. x^2 - 5x = 0 . Rešenja su x=0 x = 0 i x=5. x = 5 . Oba rešenja zadovoljavaju uslov x≥0. x \ge 0 .

x(x−5)=0  ⟹  x1=0,x2=5x(x - 5) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 5

Za −3≤x<0, -3 \le x < 0 , jednačina postaje x2−4(−x)−x=0, x^2 - 4(-x) - x = 0 , odnosno x2+3x=0. x^2 + 3x = 0 . Rešenja su x=0 x = 0 (nije u intervalu) i x=−3. x = -3 .

x(x+3)=0  ⟹  x3=−3x(x + 3) = 0 \implies x_3 = -3

Razmatramo drugi slučaj x2−4∣x∣+3=−x−3. x^2 - 4|x| + 3 = -x - 3 . Sređivanjem dobijamo:

x2−4∣x∣+x+6=0x^2 - 4|x| + x + 6 = 0

Za x≥0, x \ge 0 , dobijamo x2−3x+6=0. x^2 - 3x + 6 = 0 . Diskriminanta ove jednačine je D=9−24=−15, D = 9 - 24 = -15 , što znači da nema realnih rešenja.

D=(−3)2−4⋅1⋅6=9−24<0D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 < 0

Za −3≤x<0, -3 \le x < 0 , dobijamo x2+4x+x+6=0, x^2 + 4x + x + 6 = 0 , odnosno x2+5x+6=0. x^2 + 5x + 6 = 0 .

(x+2)(x+3)=0  ⟹  x4=−2,x5=−3(x + 2)(x + 3) = 0 \implies x_4 = -2, x_5 = -3

Objedinjujemo sva dobijena rešenja koja zadovoljavaju početni uslov x≥−3. x \ge -3 .

x∈{−3,−2,0,5}x \in \{-3, -2, 0, 5\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti