1357. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Prvo primećujemo da desna strana jednačine mora biti nenegativna, jer je apsolutna vrednost uvek veća ili jednaka nuli.

x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3

Koristimo definiciju apsolutne vrednosti $|A| = B \iff A = B \text{ ili } A = -B .$ Razdvajamo jednačinu na dva slučaja:

x^2 - 4|x| + 3 = x + 3 \quad \text{ili} \quad x^2 - 4|x| + 3 = -(x + 3)

Razmatramo prvi slučaj $x^2 - 4|x| + 3 = x + 3 .$ Sređivanjem dobijamo:

x^2 - 4|x| - x = 0

Za $x \ge 0 ,$ jednačina postaje $x^2 - 4x - x = 0 ,$ odnosno $x^2 - 5x = 0 .$ Rešenja su $x = 0$ i $x = 5 .$ Oba rešenja zadovoljavaju uslov $x \ge 0 .$

x(x - 5) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 5

Za $-3 \le x < 0 ,$ jednačina postaje $x^2 - 4(-x) - x = 0 ,$ odnosno $x^2 + 3x = 0 .$ Rešenja su $x = 0$ (nije u intervalu) i $x = -3 .$

x(x + 3) = 0 \implies x_3 = -3

Razmatramo drugi slučaj $x^2 - 4|x| + 3 = -x - 3 .$ Sređivanjem dobijamo:

x^2 - 4|x| + x + 6 = 0

Za $x \ge 0 ,$ dobijamo $x^2 - 3x + 6 = 0 .$ Diskriminanta ove jednačine je $D = 9 - 24 = -15 ,$ što znači da nema realnih rešenja.

D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 < 0

Za $-3 \le x < 0 ,$ dobijamo $x^2 + 4x + x + 6 = 0 ,$ odnosno $x^2 + 5x + 6 = 0 .$

(x + 2)(x + 3) = 0 \implies x_4 = -2, x_5 = -3

Objedinjujemo sva dobijena rešenja koja zadovoljavaju početni uslov $x \ge -3 .$

x \in \{-3, -2, 0, 5\}

160.đ