Smena x na 2 + x: proizvod dva trinoma minus 12

Primetimo da se izraz $x^2 + x$ pojavljuje u oba faktora. Uvodimo smenu:

t = x^2 + x

Zamenom smene u početnu jednačinu dobijamo novu jednačinu po $t :$

(t + 1)(t + 2) - 12 = 0

Množimo zagrade i sređujemo jednačinu:

t^2 + 2t + t + 2 - 12 = 0 \\ t^2 + 3t - 10 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu:

t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = 2 :$

x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0

Rešavamo prvu kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -2

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = -5 :$

x^2 + x = -5 \implies x^2 + x + 5 = 0

Računamo rešenja u skupu konjugovano-kompleksnih brojeva jer je diskriminanta negativna:

x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{19}}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \left\{ 1, -2, \frac{-1 + i\sqrt{19}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{19}}{2} \right\}

241.b