Simetrična jednačina petog stepena: koren x = −1

Primećujemo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Jedno rešenje ovakvih jednačina je uvek $x = -1 .$ Proveravamo direktnom zamenom i delimo polinom sa $(x+1) .$

2x^5 + 5x^4 - 13x^3 - 13x^2 + 5x + 2 = (x + 1)(2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2) = 0

Prvo rešenje je $x_1 = -1 .$ Sada rešavamo simetričnu jednačinu četvrtog stepena:

2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0

Delimo celu jednačinu sa $x^2$ (pošto $x=0$ nije rešenje) i grupišemo članove sa istim koeficijentima:

2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 16 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo:

2(t^2 - 2) + 3t - 16 = 0 \implies 2t^2 + 3t - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći obrazac:

t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-3 \pm 13}{4}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}, \quad t_2 = \frac{-16}{4} = -4

Vraćamo smenu za $t_1 = \frac{5}{2} :$

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x_2 = 2, \quad x_3 = \frac{1}{2}

Vraćamo smenu za $t_2 = -4 :$

x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x_{4,5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}

Konačan skup rešenja polazne jednačine je:

x \in \{-1, 2, \frac{1}{2}, -2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3}\}

Započni učenje

Privatni časovi

243.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci