Simetrična jednačina trećeg stepena: koren −1

Primetimo da je ovo simetrična jednačina neparnog stepena. Grupišemo članove sa istim koeficijentima.

(2x^3 + 2) + (3x^2 + 3x) = 0

Izvlačimo zajedničke faktore ispred zagrada.

2(x^3 + 1) + 3x(x + 1) = 0

Primenjujemo formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ na izraz $x^3 + 1 .$

2(x + 1)(x^2 - x + 1) + 3x(x + 1) = 0

Sada izvlačimo zajednički faktor $(x + 1)$ ispred cele zagrade.

(x + 1)[2(x^2 - x + 1) + 3x] = 0

Sređujemo izraz unutar uglaste zagrade.

(x + 1)(2x^2 - 2x + 2 + 3x) = 0 \\ (x + 1)(2x^2 + x + 2) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli. Prvo rešenje dobijamo iz prve zagrade.

x + 1 = 0 \implies x_1 = -1

Preostala rešenja dobijamo rešavanjem kvadratne jednačine $2x^2 + x + 2 = 0$ pomoću kvadratne formule.

x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Zamenjujemo vrednosti $a = 2, b = 1, c = 2$ u formulu i računamo.

x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{4}

Kako je diskriminanta negativna, rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi.

x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \quad x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ -1, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4} \right\}

243.b