Simetrična jednačina sa korenom iz 5 u rešenju

Pošto $x = 0$ nije rešenje ove jednačine, možemo celu jednačinu podeliti sa $x^2 .$

\frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0

Nakon deljenja i grupisanja članova sa istim koeficijentima, dobijamo:

\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

t = x + \frac{1}{x}

Zamenom smene u jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

(t^2 - 2) - 2t - 1 = 0 \implies t^2 - 2t - 3 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći formulu:

t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Dobijamo vrednosti za $t :$

t_1 = 3, \quad t_2 = -1

Vraćamo smenu za $t_1 = 3 :$

x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0

Rešenja prve kvadratne jednačine su:

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

Vraćamo smenu za $t_2 = -1 :$

x + \frac{1}{x} = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0

Rešenja druge kvadratne jednačine su konjugovano-kompleksni brojevi:

x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right\}

242.a