Jednačina četvrtog stepena: smena t = x - 6/x

Primetimo da je proizvod slobodnih članova prvog i četvrtog zaglavlja jednak proizvodu drugog i trećeg: $2 \cdot 6 = 12$ i $(-3) \cdot (-1) = 3 .$ Međutim, bolja grupacija je $2 \cdot (-3) = -6$ i $(-1) \cdot 6 = -6 .$ Preuredimo činioce:

[(x + 2)(x - 3)][(x - 1)(x + 6)] = 40x^2

Izmnožimo zagrade unutar ugaonih zagrada:

(x^2 - x - 6)(x^2 + 5x - 6) = 40x^2

Pošto $x = 0$ nije rešenje jednačine (zamenom dobijamo $-6 \cdot -6 = 36 \neq 0$ ), možemo podeliti celu jednačinu sa $x^2 .$ Delimo svaki faktor sa $x :$

\frac{x^2 - x - 6}{x} \cdot \frac{x^2 + 5x - 6}{x} = 40

Sredimo izraze u zagradama:

(x - 1 - \frac{6}{x})(x + 5 - \frac{6}{x}) = 40

Uvodimo smenu $t = x - \frac{6}{x} .$ Jednačina postaje:

(t - 1)(t + 5) = 40

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t^2 + 4t - 5 = 40 \implies t^2 + 4t - 45 = 0

Računamo diskriminantu i korene za $t :$

t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = 5, \quad t_2 = -9

Vraćamo smenu za $t_1 = 5 :$

x - \frac{6}{x} = 5 \implies x^2 - 5x - 6 = 0

Rešenja prve kvadratne jednačine su:

x_1 = 6, \quad x_2 = -1

Vraćamo smenu za $t_2 = -9 :$

x - \frac{6}{x} = -9 \implies x^2 + 9x - 6 = 0

Rešenja druge kvadratne jednačine su:

x_{3,4} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{105}}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{ 6, -1, \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}, \frac{-9 - \sqrt{105}}{2} \}

Započni učenje

Privatni časovi

246.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci