1880.

Iracionalne jednačine i nejednačine

Uvodimo smene za korene u jednačini. Kako su u pitanju koreni parnog stepena, važi $u \ge 0$ i $v \ge 0 .$ Neka je:

Iz date jednačine i uvedenih smena, dobijamo prvu jednačinu novog sistema:

Drugu jednačinu dobijamo kada stepenujemo smene na četvrti stepen i saberemo ih:

Sada imamo sistem simetričnih jednačina:

Ovaj sistem možemo rešiti uvođenjem elementarnih simetričnih polinoma:

Izrazimo zbir kvadrata $u^2 + v^2$ preko $S$ i $P :$

Zatim izrazimo zbir četvrtih stepena $u^4 + v^4$ preko $u^2 + v^2$ i $P :$

Kvadriramo i sredimo dobijeni izraz:

Kako znamo da je $u^4 + v^4 = 97 ,$ izjednačavamo izraze:

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $P :$

Rešavamo kvadratnu jednačinu:

Dobijamo dva rešenja za $P :$

Prvi slučaj: $S = 5, P = 44 .$ Vrednosti $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine:

Diskriminanta ove jednačine je negativna, pa ona nema realnih rešenja.

Drugi slučaj: $S = 5, P = 6 .$ Vrednosti $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine:

Rešavanjem ove jednačine dobijamo:

Ovo nam daje dva moguća para rešenja za $(u, v) :$

Za prvi par $u = 2, v = 3 ,$ vraćamo smenu za $u :$

Stepenovanjem na četvrti stepen računamo $x :$

Za drugi par $u = 3, v = 2 ,$ vraćamo smenu za $u :$

Stepenovanjem na četvrti stepen računamo $x :$

Konačna rešenja polazne jednačine su: