1877.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x−1)24−(x+1)24=32x2−14\sqrt[4]{(x-1)^2} - \sqrt[4]{(x+1)^2} = \frac{3}{2}\sqrt[4]{x^2-1}
REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen jednačine. Izrazi pod parnim korenima moraju biti nenegativni. Pošto su (x−1)2≥0 (x-1)^2 \ge 0 i (x+1)2≥0 (x+1)^2 \ge 0 uvek tačni, ostaje uslov za izraz pod korenom na desnoj strani:

x2−1≥0x^2-1 \ge 0

Faktorišemo izraz kao razliku kvadrata kako bismo odredili znak:

(x−1)(x+1)≥0(x-1)(x+1) \ge 0
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
x+1x+1
++
++
++
x2−1x^2-1
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, izraz je nenegativan na intervalima gde je znak plus. Domen jednačine je:

x∈(−∞,−1]∪[1,+∞)x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)

Koristeći osobinu a24=∣a∣, \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{|a|} , pojednostavljujemo prva dva člana jednačine:

(x−1)24=∣x−1∣i(x+1)24=∣x+1∣\sqrt[4]{(x-1)^2} = \sqrt{|x-1|} \quad \text{i} \quad \sqrt[4]{(x+1)^2} = \sqrt{|x+1|}

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

∣x−1∣={x−1,za x≥1−(x−1),za x<1|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{za } x < 1 \end{cases}

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

∣x+1∣={x+1,za x≥−1−(x+1),za x<−1|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{za } x < -1 \end{cases}

Analiziramo prvi deo domena, kada je x≥1. x \ge 1 . Tada je ∣x−1∣=x−1 |x-1| = x-1 i ∣x+1∣=x+1, |x+1| = x+1 , pa jednačina postaje:

x−1−x+1=32x2−14\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \frac{3}{2}\sqrt[4]{x^2-1}

Za x≥1 x \ge 1 važi x−1<x+1, x-1 < x+1 , pa je x−1<x+1. \sqrt{x-1} < \sqrt{x+1} . Leva strana jednačine je negativna, dok je desna strana nenegativna. Zaključujemo da u ovom slučaju nema rešenja.

Analiziramo drugi deo domena, kada je x≤−1. x \le -1 . Tada je ∣x−1∣=−(x−1)=1−x |x-1| = -(x-1) = 1-x i ∣x+1∣=−(x+1)=−x−1, |x+1| = -(x+1) = -x-1 , pa jednačina postaje:

1−x−−x−1=32x2−14\sqrt{1-x} - \sqrt{-x-1} = \frac{3}{2}\sqrt[4]{x^2-1}

Izraz pod korenom na desnoj strani možemo faktorisati i zapisati preko istih činilaca, jer je x2−1=(x−1)(x+1)=(1−x)(−x−1): x^2-1 = (x-1)(x+1) = (1-x)(-x-1) :

x2−14=(1−x)(−x−1)4\sqrt[4]{x^2-1} = \sqrt[4]{(1-x)(-x-1)}

Uvodimo smene u=1−x4 u = \sqrt[4]{1-x} i v=−x−14. v = \sqrt[4]{-x-1} . Tada je u2=1−x u^2 = \sqrt{1-x} i v2=−x−1. v^2 = \sqrt{-x-1} . Jednačina postaje:

u2−v2=32uvu^2 - v^2 = \frac{3}{2}uv

Množimo jednačinu sa 2 i prebacujemo sve članove na levu stranu:

2u2−3uv−2v2=02u^2 - 3uv - 2v^2 = 0

Pošto x=−1 x = -1 nije rešenje (daje 2=0 \sqrt{2} = 0 ), zaključujemo da je v≠0. v \ne 0 . Delimo jednačinu sa v2 v^2 i uvodimo novu smenu t=uv, t = \frac{u}{v} , pri čemu je t≥0: t \ge 0 :

2t2−3t−2=02t^2 - 3t - 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=3±(−3)2−4⋅2⋅(−2)2⋅2=3±54t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}

Dobijamo rešenja t1=2 t_1 = 2 i t2=−12. t_2 = -\frac{1}{2} . Zbog uslova t≥0, t \ge 0 , prihvatamo samo pozitivno rešenje:

t=2t = 2

Vraćamo smenu t=uv: t = \frac{u}{v} :

1−x4−x−14=2\frac{\sqrt[4]{1-x}}{\sqrt[4]{-x-1}} = 2

Zapisujemo pod jedan koren i stepenujemo jednačinu na četvrti stepen:

1−x−x−1=16\frac{1-x}{-x-1} = 16

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

1−x=16(−x−1)  ⟹  1−x=−16x−16  ⟹  15x=−17  ⟹  x=−17151 - x = 16(-x - 1) \implies 1 - x = -16x - 16 \implies 15x = -17 \implies x = -\frac{17}{15}

Proveravamo da li rešenje pripada uslovu x≤−1. x \le -1 . Pošto je −1715≤−1, -\frac{17}{15} \le -1 , rešenje je validno.

Konačno rešenje jednačine je:

x=−1715x = -\frac{17}{15}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti