368

Određujemo domen jednačine. Izrazi pod parnim korenima moraju biti nenegativni. Pošto su $(x-1)^2 \ge 0$ i $(x+1)^2 \ge 0$ uvek tačni, ostaje uslov za izraz pod korenom na desnoj strani:

Faktorišemo izraz kao razliku kvadrata kako bismo odredili znak:

Na osnovu tabele znakova, izraz je nenegativan na intervalima gde je znak plus. Domen jednačine je:

Koristeći osobinu $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{|a|} ,$ pojednostavljujemo prva dva člana jednačine:

Definišemo prvu apsolutnu vrednost:

Definišemo drugu apsolutnu vrednost:

Analiziramo prvi deo domena, kada je $x \ge 1 .$ Tada je $|x-1| = x-1$ i $|x+1| = x+1 ,$ pa jednačina postaje:

Analiziramo drugi deo domena, kada je $x \le -1 .$ Tada je $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ i $|x+1| = -(x+1) = -x-1 ,$ pa jednačina postaje:

Izraz pod korenom na desnoj strani možemo faktorisati i zapisati preko istih činilaca, jer je $x^2-1 = (x-1)(x+1) = (1-x)(-x-1) :$

Uvodimo smene $u = \sqrt[4]{1-x}$ i $v = \sqrt[4]{-x-1} .$ Tada je $u^2 = \sqrt{1-x}$ i $v^2 = \sqrt{-x-1} .$ Jednačina postaje:

Množimo jednačinu sa 2 i prebacujemo sve članove na levu stranu:

Pošto $x = -1$ nije rešenje (daje $\sqrt{2} = 0$), zaključujemo da je $v \ne 0 .$ Delimo jednačinu sa $v^2$ i uvodimo novu smenu $t = \frac{u}{v} ,$ pri čemu je $t \ge 0 :$

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

Dobijamo rešenja $t_1 = 2$ i $t_2 = -\frac{1}{2} .$ Zbog uslova $t \ge 0 ,$ prihvatamo samo pozitivno rešenje:

Vraćamo smenu $t = \frac{u}{v} :$

Zapisujemo pod jedan koren i stepenujemo jednačinu na četvrti stepen:

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu:

Konačno rešenje jednačine je: