1903. Iracionalne jednačine i nejednačine

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} < g(x)$ je ekvivalentna sistemu nejednačina:

\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}

Primenom ovog pravila na našu nejednačinu dobijamo sistem:

\begin{cases} x^2-5x+4 \ge 0 \\ x-3 > 0 \\ x^2-5x+4 < (x-3)^2 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu iz sistema. Nalazimo nule kvadratne funkcije $x^2-5x+4 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 4

Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, funkcija je nenegativna van intervala između nula:

x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)

Rešavamo drugu nejednačinu:

x - 3 > 0 \implies x > 3 \implies x \in (3, +\infty)

Presek rešenja prve dve nejednačine predstavlja uslov pod kojim možemo kvadrirati:

x \in ((-\infty, 1] \cup [4, +\infty)) \cap (3, +\infty) \implies x \in [4, +\infty)

Sada rešavamo treću nejednačinu kvadriranjem binoma na desnoj strani:

x^2 - 5x + 4 < x^2 - 6x + 9

Sređujemo nejednačinu prebacivanjem nepoznatih na levu, a poznatih na desnu stranu:

x^2 - 5x - x^2 + 6x < 9 - 4 \implies x < 5

Rešenje treće nejednačine je:

x \in (-\infty, 5)

Konačno rešenje dobijamo u preseku uslova i rešenja treće nejednačine:

x \in [4, +\infty) \cap (-\infty, 5)

Konačno rešenje je:

x \in [4, 5)

1903.Iracionalne jednačine i nejednačine