1902.

Iracionalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši nejednačinu:

x2−x−2>2\sqrt{x^2-x-2} > 2
REŠENJE ZADATKA

Pošto je desna strana nejednačine pozitivna (2>0 2 > 0 ), možemo kvadrirati obe strane. Uslov definisanosti korena (x2−x−2≥0 x^2-x-2 \ge 0 ) biće automatski ispunjen jer će potkorena veličina biti strogo veća od 4.

(x2−x−2)2>22\left(\sqrt{x^2-x-2}\right)^2 > 2^2

Kvadriramo obe strane:

x2−x−2>4x^2 - x - 2 > 4

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu nejednačinu:

x2−x−6>0x^2 - x - 6 > 0

Da bismo rešili nejednačinu, prvo nalazimo nule odgovarajuće kvadratne jednačine:

x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0

Faktorišemo kvadratni trinom:

(x−3)(x+2)=0(x-3)(x+2) = 0

Nule su x1=3 x_1 = 3 i x2=−2. x_2 = -2 . Formiramo tabelu znakova za analizu znaka izraza (x−3)(x+2): (x-3)(x+2) :

x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
x∈(−2,3)x \in (-2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x+2x+2
−-
++
++
x−3x-3
−-
−-
++
(x−3)(x+2)(x-3)(x+2)
++
−-
++

Na osnovu tabele, izraz je strogo pozitivan na intervalima gde je znak `+`. Konačno rešenje nejednačine je:

x∈(−∞,−2)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti