1901. Iracionalne jednačine i nejednačine

Iracionalna nejednačina oblika $\sqrt{f(x)} > g(x)$ je ekvivalentna uniji dva sistema nejednačina:

\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}

Primenjujemo ovo pravilo na našu nejednačinu:

\begin{cases} x-3 < 0 \\ x^2-4x \ge 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x^2-4x > (x-3)^2 \end{cases}

Rešavamo prvi sistem (Slučaj 1). Prva nejednačina daje $x < 3 .$ Za drugu nejednačinu tražimo nule kvadratnog izraza $x^2-4x :$

x(x-4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4

Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je izraz nenegativan van korena:

x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)

Presek rešenja prve i druge nejednačine prvog sistema ( $x < 3$ i $x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$ ) daje rešenje prvog slučaja:

x \in (-\infty, 0]

Sada rešavamo drugi sistem (Slučaj 2). Prva nejednačina daje $x \ge 3 .$ Kvadriramo desnu stranu u drugoj nejednačini:

x^2-4x > x^2-6x+9

Sređujemo nejednačinu prebacivanjem nepoznatih na jednu stranu:

2x > 9 \implies x > \frac{9}{2}

Presek rešenja prve i druge nejednačine drugog sistema ( $x \ge 3$ i $x > \frac{9}{2}$ ) daje rešenje drugog slučaja:

x \in \left(\frac{9}{2}, +\infty\right)

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog slučaja:

x \in (-\infty, 0] \cup \left(\frac{9}{2}, +\infty\right)

1901.Iracionalne jednačine i nejednačine